Аналогия с натуральным рядом

Следует отметить, что аналогичные конструкции можно построить на семействе ${\mathfrak N}$ всех подмножеств натурального ряда ${\cal N}$. Именно, рассмотрим полуалгебру ${\cal Z}$ подмножеств ${\cal N}$, состоящую из конечных и бесконечных промежутков ${\cal N}$. Тогда функцию $\delta_\infty$, значения которой равны $0$ на конечных и $1$ на бесконечных промежутках, можно, в некотором "аппроксимативном смысле", трактовать как "равномерное" распределение на ${\cal N}$. Функция $\delta_\infty$ является чисто к.-а. мерой на ${\cal Z}$ и, аналогично случаю отрезка ${\bf I}$, можно указать чисто к.-а. меру определенную на ${\mathfrak N}$ и являющуюся продолжением $\delta_\infty$. При этом

$${\mathfrak B}\stackrel{\triangle}{=}\{\mu \in (add)_+[{\mathfrak N}] \mid (\mu \mid {\cal Z}) = \delta_\infty\} =$$

$$=\{\mu \in {\bf A}({\mathfrak N}) \mid (v_\mu ({\cal N})=1) \& (\mu \mid {\cal Z}) = \delta_\infty\}=$$

${\bf P}_p({\mathfrak N})$[множество всех чисто к.-а. вероятностей на ${\mathfrak N}$]$=$ $\{\mu \in {\bf A}({\mathfrak N}) \mid \forall f \in {\bf B}({\cal N}):$ $\lim\limits_{\overline{k \to \infty}}f(k) \le \int\limits_{\cal N}f\,d\mu \le \overline{\lim\limits_{k \to \infty}}f(k)\}$ $\leftrightarrow$ $\{f^* \in {\bf B}^*({\cal N}) \mid$ $\forall f \in {\bf B}({\cal N}):$
$\lim\limits_{\overline{k \to \infty}}f(k) \le f^*(f) \le \overline{\lim\limits_{k \to \infty}}f(k)\}$.
Если $\rho$ -- произвольная биекция ${\cal N}$ на $Q$, то любой мере $\omega \in \Omega$ соответствует мера $\xi \in {\mathfrak B}$, такая, что $\forall S \in {\mathfrak N}$: $\xi(S)= \omega(\rho^1(S))$. Таким образом, $\Omega$ допускает вложение в ${\mathfrak B}$. Если $\mu^* \in {\mathfrak B}$ и $x^* \in {\bf B}^*({\cal N})$, причем $\mu^* \leftrightarrow x^*$, то при $f=(f_n)_{n \in {\cal N}} \in {\bf B}({\cal N})$ возможна ситуация

$$x^*(f) \ne x^*((f_{n+1})_{n \in {\cal N}}).$$