Построение $\omega \in \Omega$

В дальнейших построениях будем использовать тот факт, что к.-а. меры ограниченной вариации являются линейными непрерывными функционалами на (банаховом) пространстве равномерных пределов ступенчатых функций. Оснащая пространство всех таких к.-а. мер естественной сильной нормой (вариацией) пространства линейных непрерывных функционалов на исходном банаховом пространстве, получаем пространство, топологически сопряженное к исходному банаховому пространству. По теореме Алаоглу всякое сильно ограниченное и $*$-слабо замкнутое множество в этом (сопряженном) пространстве будет $*$-слабо компактным. Возможность выделения из любой направленности (и, в частности, из последовательности) в компактном множестве сходящейся поднаправленности является основой построения к.-а. вероятности, определенной на семействе всех подмножеств промежутка ${\bf I}$.

Пусть ${\bf A}({\cal J})$ -- множество всех ограниченных вещественнозначных (в/з) к.-а. мер на ${\cal J}$, а ${\bf P}({\cal J})$ -- множество всех к.-а. вероятностных мер на ${\cal J}$. Оснащаем ${\bf A}({\cal J})$ $*$-слабой топологией $\tau_*({\cal J})$. В данном конкретном случае пространство ${\bf A}({\cal J})$ изометрически изоморфно пространству, топологически сопряженному к пространству ограниченных в/з функций на ${\bf I}$. Топологическое пространство $({\bf A}({\cal J})$, $\tau_*({\cal J}))$ -- $\sigma$-компакт, а множество ${\bf P}({\cal J})$ компактно в упомянутом ТП (т.е. $*$-слабо компактно) в силу теоремы Алаоглу. Это означает, в частности, возможность изотонного "прореживания" произвольной направленности в ${\bf P}({\cal J})$ до сходящейся поднаправленности. В качестве исходной направленности можно, в частности, использовать последовательность.

Если $t \in {\bf I}$, обозначаем через $\delta_t$ меру Дирака, сосредоточенную в точке $t$ (и определенную на $\sigma$-алгебре ${\cal J}$ всех подмножеств ${\bf I}$). Кроме того, полагаем $\forall k \in {\cal N}$, где ${\cal N}\stackrel{\triangle}{=}\{1;2;\ldots \}$,:

$$\forall i \in \overline{0,k}: \quad t_i^{(k)} \stackrel{\tria... ...I_k \stackrel{\triangle}{=}\{t_i^{(k)}: i \in \overline{0,k}\}.$$

Рассмотрим последовательность в компакте ${\bf P}({\cal J})$:

$$\mu^{(k)} \stackrel{\triangle}{=}\frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \delta_{t_i^{(k)}}, \quad k \in {\cal N},$$

обладающую свойством:

$$\mu^{(k)}({\bf I})=\mu^{(k)}(Q)=\mu^{(k)}(I_k)=1,$$

где $Q$ -- множество всех рациональных чисел из отрезка $[0,1]$. В силу компактности ${\bf P}({\cal J})$ из данной последовательности можно извлечь поднаправленность, сходящуюся к некоторой мере $\omega \in {\bf P}({\cal J})$.

Устанавливается, что эта мера $\omega$ принадлежит множеству $\Omega$ всех к.-а. вероятностей на ${\cal J}$ со свойствами $(\omega \vert {\cal I})=l$ и $\omega (Q)=1$ и является чисто к.-а. мерой в смысле разложения Хьюитта-Иосида (то есть не имеет неотрицательных счетно-аддитивных минорант, кроме тождественно равной нулю).