Постановка задачи

В связи с построением равномерного распределения вероятности на отрезке ${\bf I}\stackrel{\triangle}{=}[0,1]$ можно отметить, что схема его построения в виде сужения меры Лебега на семейство всех измеримых подмножеств ${\bf I}$ использует сохранение свойства счетной аддитивности функции длины (промежутков, содержащихся в ${\bf I}$) для семейства множеств более сложной структуры. С другой стороны, упомянутая функция длины есть, в частности, конечно-аддитивная (к.-а.) мера и можно поставить вопрос о сохранении на семействе множеств более сложной структуры "всего лишь" свойства конечной аддитивности. Это соглашение позволяет распространить (в упомянутом смысле) длину до к.-а. меры на семействе всех подмножеств ${\bf I}$ в отличие от случая построения меры Лебега.

Рассматривается полуалгебра ${\cal I}$ всевозможных (открытых, полуоткрытых, замкнутых) промежутков, содержащихся в отрезке ${\bf I}=[0,1]$. На ${\cal I}$ определяется функция длины $l$, обладающая свойством счетной аддитивности. Поскольку $l$, в частности, является конечно-аддитивной мерой на ${\cal I}$, то с использованием теоремы Тарского и некоторых простейших свойств продолжений к.-а. мер с полуалгебры на алгебру подмножеств ${\bf I}$, порожденную данной полуалгеброй, имеем, что существует неотрицательная вещественнозначная к.-а. мера на ${\cal J}$ -- семействе всех подмножеств ${\bf I}$, сужение которой на ${\cal I}$ есть $l$. Наша цель состоит в установлении факта существования специальных продолжений такого рода.