3 Свойства множества $\Omega$

ТЕОРЕМА 1. Множество $\Omega$ есть непустой выпуклый компакт в *-слабой топологии пространства всех ограниченных к.-а. мер на $\cal {J}$.


ТЕОРЕМА 2. Множество $\Omega$ содержит подмножество мощности континуума.


ТЕОРЕМА 3. Множество $\Omega$ состоит только из неатомических к.-а. мер: если $\mu$ $\in$ $\Omega$, E $\in$ $\cal {J}$ и $\mu$(E) > 0, то

$$\exists$$A $$\in$$ $$\cal {J}$$ : (A $$\subset$$ E) & ($$\mu$$(A) $$\in$$ ]0,$$\mu$$(E)[).

Предложение. Если $\omega$ $\in$ $\Omega$, то образ $\cal {J}$ при отображении $\omega$ есть отрезок $\bf I$: {$\omega$(H) : H $\in$ $\cal {J}$} = [0, 1].

Замечание. Всякий элемент множества $\Omega$ является чисто к.-а. мерой, не обладающей свойством "ограниченной инвариантности". Именно, если $\omega$ $\in$ $\Omega$ и c $\in$ ]0, 1[, то можно указать множество S $\in$ $\cal {J}$ и число $\alpha$ $\in$ $\bf I$ со свойством S_$\alpha$$\;\stackrel{\triangle}{=}\;${s + $\alpha$ : s $\in$ S} $\in$ $\cal {J}$, для которых ($\omega$(S) = c) &$\omega$(S_$\alpha$) = 0).