2 Построение $\omega$ $\in$ $\Omega$

В дальнейших построениях будем использовать тот факт, что к.-а. меры ограниченной вариации являются линейными непрерывными функционалами на (банаховом) пространстве равномерных пределов ступенчатых функций. Оснащая пространство всех таких к.-а. мер естественной сильной нормой (вариацией) пространства линейных непрерывных функционалов на исходном банаховом пространстве, получаем пространство, топологически сопряженное к исходному банаховому пространству. По теореме Алаоглу всякое сильно ограниченное и *-слабо замкнутое множество в этом (сопряженном) пространстве будет *-слабо компактным. Возможность выделения из любой направленности (и, в частности, из последовательности) в компактном множестве сходящейся поднаправленности является основой построения к.-а. вероятности, определенной на семействе всех подмножеств промежутка $\bf I$.

Пусть $\bf A$($\cal {J}$) -- множество всех ограниченных вещественнозначных к.-а. мер на $\cal {J}$, а $\bf P$($\cal {J}$) -- множество всех вероятностных мер на $\cal {J}$. Оснащаем $\bf A$($\cal {J}$) *-слабой топологией $\tau_{*}^{}$($\cal {J}$). В данном конкретном случае пространство $\bf A$($\cal {J}$) изометрически изоморфно пространству, топологически сопряженному к пространству всех ограниченных в/з функций на $\bf I$. Топологическое пространство ($\bf A$($\cal {J}$), $\tau_{*}^{}$($\cal {J}$)) -- $\sigma$-компакт, а множество $\bf P$($\cal {J}$) компактно в упомянутом ТП (т.е. *-слабо компактно) в силу теоремы Алаоглу. Это означает, в частности, возможность изотонного "прореживания" произвольной направленности в $\bf P$($\cal {J}$) до сходящейся поднаправленности. В качестве исходной направленности можно, в частности, использовать последовательность.

Если t $\in$ $\bf I$, обозначаем через $\delta_{t}^{}$ меру Дирака, сосредоточенную в точке t (и определенную на $\sigma$-алгебре $\cal {J}$ всех подмножеств $\bf I$). Кроме того, полагаем $\forall$k $\in$ $\cal {N}$, где $\cal {N}$$\;\stackrel{\triangle}{=}\;${1;2;...},:

$$\forall$$i $$\in$$ $$\overline{0,k}$$ :     t_i^(k)$$\;\stackrel{\triangle}{=}\;$$$${\frac{i}{k}}$$,        I_k$$\;\stackrel{\triangle}{=}\;$${t_i^(k) : i $$\in$$ $$\overline{0,k}$$}.

Рассмотрим последовательность в компакте $\bf P$($\cal {J}$):

$$\mu^{(k)}_{}$$$$\;\stackrel{\triangle}{=}\;$$$${\frac{1}{k}}$$$$\sum_{i=1}^{k}$$$$\delta_{t_i^{(k)}}^{}$$,    k $$\in$$ $$\cal {N}$$,

обладающую свойством:

$$\mu^{(k)}_{}$$($$\bf I$$) = $$\mu^{(k)}_{}$$(Q) = $$\mu^{(k)}_{}$$(I_k) = 1,

где Q -- множество всех рациональных чисел из отрезка [0, 1]. В силу компактности $\bf P$($\cal {J}$) из данной последовательности можно извлечь поднаправленность, сходящуюся к некоторой мере $\omega$ $\in$ $\bf P$($\cal {J}$).

Устанавливается, что эта мера $\omega$ принадлежит множеству $\Omega$ всех к.-а. вероятностей на $\cal {J}$ со свойствами ($\omega$|$\cal {I}$) = l и $\omega$(Q) = 1 и является чисто к.-а. мерой в смысле разложения Хьюитта-Иосида (то есть не имеет неотрицательных счетно-аддитивных минорант, кроме тождественно равной нулю).