1 Постановка задачи

В связи с построением равномерного распределения вероятности на отрезке $\bf I$$\;\stackrel{\triangle}{=}\;$[0, 1] можно отметить, что схема его построения в виде сужения меры Лебега на семейство всех измеримых подмножеств $\bf I$ использует сохранение свойства счетной аддитивности функции длины (промежутков, содержащихся в $\bf I$) для семейства множеств более сложной структуры. С другой стороны, упомянутая функция длины есть, в частности, конечно-аддитивная (к.-а.) мера и можно поставить вопрос о сохранении на семействе множеств более сложной структуры "всего лишь" свойства конечной аддитивности. Это соглашение позволяет распространить (в упомянутом смысле) длину до к.-а. меры на семействе всех подмножеств $\bf I$ в отличие от случая построения меры Лебега.

Рассматривается полуалгебра $\cal {I}$ всевозможных (открытых, полуоткрытых, замкнутых) промежутков, содержащихся в отрезке $\bf I$ = [0, 1]. На $\cal {I}$ определяется функция длины l, обладающая свойством счетной аддитивности. Поскольку l, в частности, является конечно-аддитивной мерой на $\cal {I}$, то с использованием теоремы Тарского и некоторых простейших свойств продолжений к.-а. мер с полуалгебры на алгебру подмножеств $\bf I$, порожденную данной полуалгеброй, имеем, что существует неотрицательная вещественнозначная к.-а. мера на $\cal {J}$ -- семействе всех подмножеств $\bf I$, сужение которой на $\cal {I}$ есть l. Наша цель состоит в установлении факта существования специальных продолжений такого рода.