3. Линейная управляемая система с малым параметром

Рассмотрим в $R^{n}$ управляемый процесс

$$\stackrel{\cdot }{z} = -u+v+\gamma f(t,z), \quad u\in U(t), \ \ v\in V(t),$$ (3.1)

где $\gamma$ - малый параметр, а функция $f$ удовлетворяет ограничениям

$$\Vert f(t,z)\Vert \leq F(t), \quad \Vert f(t,z) - f(t,y)\Vert\leq m(t)\Vert z - y\Vert.$$ (3.2)

Здесь $\Vert\cdot \Vert$ - евклидова норма в $R^{n}$.

Предполагаем, что существует число $D>0$ такое, что

$$U(t)\subset U(\tau )+D(\tau - t)S, \quad t\leq \tau \leq p,$$ (3.3)

и каждое из множеств $U(t)$ является компактом в $R^{n}$.

Считаем, что каждое из множеств $V(t)\subset R^{n}$ при $t\leq p$ является компактом и содержится в шаре радиуса $q(t)$, где $q(t)\geq 0$ - скалярная функция, интегрируемая на каждом отрезке; отображение $t \rightarrow V(t)$ измеримо по Лебегу.

Движения системы $(3.1)$ с начальным условием ${z}(t_{0})$ реализуем с помощью ломаных Эйлера

$$\begin{array}{c} z_{\omega }(t)=z_{\omega }(t_{i})-(t-t_{i})... ...{\omega }(t_{i})),\\ [2ex] t_{i}\leq t\leq t_{i+1}, \end{array}$$ (3.4)

где

$$u(t,z)\in U(t); \quad v_{i}\in \int\limits _{t_{i}}^{t_{i+1}}V(r)dr.$$ (3.5)

На отрезке $\left[ t_{0},p \right]$ ломаные $(3.4)$ удовлетворяют условиям теоремы Арцела $[4]$. Следовательно, на отрезке $\left[ t_{0},p \right]$ определена функция $z(t)$, которая является равномерным пределом подпоследовательности ломаных при диаметре разбиения $d(\omega )\rightarrow 0$. Такую функцию будем называть движением, порожденным управлением $u(t,z)$.

Считаем, что при $\gamma = 0$ построен стабильный мост, удовлетворяющий условию стабильности

$$\bigcap_{v}W(\tau ,z-(\tau -t)P(\tau ,t)+v)\supset W(t,z), \ \ \ \ v\in \int \limits_{t}^{\tau }V(r)dr,$$ (3.6)

где многозначная функция $P$ удовлетворяет включению

$$P(\tau ,t)\subset U(\tau )+(\tau - t)CS, \quad C > 0.$$ (3.7)

По стабильному мосту (3.6) строим управление $u(t,z)$ $(2.2)$.

Теорема 3.1. Для любой ломаной $(3.4)$ выполнено включение

$$e\in W(p,z_{\omega }(p)+\varepsilon (\omega )U_{\ast }(p) +\varepsilon (\omega )S),$$ (3.8)

где

$$\varepsilon (\omega )\leq \Bigl[ \max(\varepsilon _{0};d(\omega ))+\phi (\omega )\Bigr] \exp (\psi (\omega )),$$ (3.9)

$$\phi (\omega ) = \gamma \sum_{i = 0}^{k} (t_{i+1}-t_{i})F(t_{i}),$$

$$\psi (\omega ) = 2 (p-t_{0})B +2\gamma \sum_{i = 0}^{k} (t_{i+1} - t_{i})M(t_{i}),$$

$$B = \max (D;C).$$

Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим

$$V(\tau ,t,z) = (\tau -t)^{-1} \int\limits _{t}^{\tau }V(r)dr +\gamma f(t,z).$$ (3.10)

Тогда включение $(1.13)$ примет следующий вид:

$$\int \limits_{t}^{\tau }V(r)dr \subset \bigcap\Biggl[ \int \limits_{t}^{\tau }V(r)dr + (\tau -t)\gamma \Bigl\{ f(t, z +\varepsilon \left[u_{1}- u_{2}+s\right]) - f(t,z)\Bigr\} +$$

$$+ (\tau -t)A(\tau ,t,\varepsilon )S\Biggr].$$

Это включение будет выполнено, если

$$\gamma \Vert f(t,z+\varepsilon \left[ u_{1}-u_{2} + s \right... ...eq A(\tau ,t,\varepsilon), \ \ \ u_{i}\in U(t), \ \ \ s\in S.$$

Используя условие Липшица $(3.2)$, получим:

$$A(\tau ,t,\varepsilon) = \gamma \varepsilon M(t), \quad M(t) = m(t)\left(1+2\max_{u\in U(t)}\Vert u\Vert\right).$$ (3.11)

Найдем функцию $\phi (\tau , t)$ такую, чтобы выполнялось условие стабильности $(1.11)$ для многозначной функции $(3.10)$. Из условия $(3.6)$ следует, что включение $(1.11)$ будет выполнено, если $\gamma (\tau - t)\Vert f(t,z)\Vert\leq \phi (\tau ,t)$. Отсюда и из условия ограниченности $(3.2)$ получим

$$\phi (\tau ,t) = \gamma (\tau - t)F(t).$$ (3.12)

Подставив соотношения

$$a(t_{i+1},t_{i}) = b(t_{i+1},t_{i}) = t_{i+1} - t_{i}, \ \ \ D(t_{i+1},t_{i}) = (t_{i+1} - t_{i})D,$$

$$C(t_{i+1},t_{i}) = (t_{i+1} - t_{i})C, \ \ \ L(t_{i+1},t_{i... ... \ \ \ \phi (t_{i+1},t_{i}) = \gamma (t_{i+1} - t_{i})F(t_{i})$$

в формулы (2.13), получим требуемые соотношения $(3.9)$.

Допустим, что функции $F$ и $M$ интегрируемы по Риману на отрезке $\left[ t_{0},p \right]$. Тогда при $d(\omega )\rightarrow 0$ правая часть в $(3.9)$ стремится к следующей величине:

$$\varepsilon = \left(\varepsilon_{0}+\gamma \int \limits_{t_{... ...ft(2(p - t_{0})B+2\gamma \int \limits_{t_{0}}^{p}M(t)dt\right)$$

З а м е ч а н и е 3.1. В ряде случаев при построении стабильного моста удобно брать

$$P(\tau ,t) = \mathrm{co} \bigcup_{t \leq r \leq \tau} U(r).$$

Тогда из $(3.3)$ следует включение $(3.7)$, где $C = D$.

Рассмотрим задачу, в которой надо осуществить включение $z(p)\in X$, где $X$ - замкнутое множество в $R^{n}$. Полагая $e = 0$, ищем соотношение для моста в следующем виде:

$$W(t,z) = -z+W(t), \quad W(p) = X.$$ (3.13)

Подставим $(3.13)$ в условие стабильности $(3.6)$. Будем иметь

$$\left( W(\tau )+(\tau - t)P(\tau ,t)\right) \setminus \int \limits_{t}^{\tau }V(r)dr \supset W(t).$$

Здесь символом ``$\setminus$'' обозначена ``геометрическая разность'' $[5]$ множеств.

Для рассматриваемого случая алгоритм построения управления $(2.2)$ примет следующий вид:

$$\varepsilon (t,z) = \min\left\{ \varepsilon \geq 0 : \, \lef... ...t(W(t) -\varepsilon U(t)+\varepsilon S \right) \neq 0\right\},$$

$$U_{0}(t,z) = \left\{ u\in U(t) : \, z-\varepsilon(t,z) u\in W(t)+ \varepsilon(t,z)\left(-U(t)+S \right)\right\}. \\$$

Поступила 10.10.99