1. Постановка задачи

В линейном нормированном пространстве $Z$ происходит движение вектора $z$ по правилу

$$z(\tau) = z(t) - a(\tau , t)u + b(\tau , t)v, \quad t< \tau \leq p,$$ (1.1)

где $p$ - фиксированный момент окончания процесса управления, $u$ - вектор управления, $v$ - вектор помехи, $a(\tau ,t)$ и $b(\tau ,t)$ - скалярные функции, причем

$$a(\tau ,t)\geq 0, \quad a(t,t)=b(t,t)=0.$$ (1.2)

Считаем, что управление и помеха удовлетворяют ограничениям

$$u\in U(t, z) \subset Z, \quad v\in V(\tau ,t,z) \subset Z.$$ (1.3)

Движение формализуем с помощью ломаных Эйлера. Зафиксируем начальное состояние $z(t_{0})$ и рассмотрим разбиение

$$\omega : \ t_{0}<t_{1}< \cdots < t_{k}<t_{k+1} = p$$ (1.4)

с диаметром $d(\omega ) = \max(t_{i+1} - t_{i}), \, i=0,1, \cdots ,k.$

Допустимым управлением является любая функция

$$u(t,z)\in U(t,z).$$ (1.5)

Зафиксируем управление $(1.5)$. Построим ломаную Эйлера

$$z_{\omega }(t) = z_{\omega }(t_{i}) - a(t, t_{i})u(t_{i},z_{\omega }(t_{i}))+b(t, t_{i})v_{i}, \quad t_{i}\leq t\leq t_{i+1}$$ (1.6)

Здесь помеха $v_{i}\in V(t_{i+1},t_{i},z_{\omega }(t_{i}))$ выбирается произвольным образом.

Сформулируем цель синтеза управления. Задано второе линейное нормированное пространство $E$, точка $e\in E$ и многозначная функция $F:Z \rightarrow 2^{E}$. Цель синтеза управления заключается в осуществлении включения

$$e\in F(z(p)).$$ (1.7)

Мы не налагаем на множества $(1.3)$ условий, которые давали бы возможность определить реализовавшееся в момент времени $p$ состояние $z(p)$, как предельную точку конечных состояний $z_{\omega }(p)$ последовательности ломаных $(1.6)$ при диаметре разбиения, стремящемся к нулю. Поэтому формализуем условие того, что какое-то управление $(1.5)$ гарантирует в момент времени $p$ включение $(1.7)$, не прибегая к определению предельных движений.

Обозначим через $S$ единичный шар в $Z$ и через $U_{\ast }(t,z)$ алгебраическую сумму множеств $U(t,z)$ и $-U(t,z))$

$$U_{\ast }(t,z)=U(t,z) + (-U(t,z).$$ (1.8)

О п р е д е л е н и е 1.1. Управление $(1.5)$ гарантирует включение $(1.7)$ из начального состояния $z(t_{0})$, если для любого числа $\gamma >0$ найдется число $\delta >0$ такое, что для любой ломаной $(1.6)$ с диаметром разбиения $d(\omega )<\delta$ выполнено включение

$$e\in F(z_{\omega }(p)+\gamma U_{\ast }(t,z_{\omega }(p))+\gamma S).$$ (1.9)

Синтез управления будем осуществлять, опираясь на конструкцию стабильного моста $[1, 2]$, который в рассматриваемом случае будет являться многозначной функцией $W(t,z) \subset E$, при $t\leq p, \ z\in Z$, удовлетворяющей граничному условию

$$W(p,z) = F(z)$$ (1.10)

и условию стабильности $[1, 2]$.

В монографии [1, стр. 294] отмечалось, что при построении стабильных мостов можно использовать различные аппроксимационные аналоги уравнения движения.

Рассмотрим случай, когда условие стабильности записывается с помощью некоторой многозначной функции $P(\tau ,t,z) \subset Z$ следующим образом:

$$\bigcap_{v\in V(\tau ,t,z)}W(\tau ,z-a(\tau ,t)P(\tau ,t,z)+b(\tau ,t)v +\phi (\tau ,t)S) \supset W(t,z).$$ (1.11)

Здесь функция $\phi (\tau ,t)\geq 0$ задана.

Сформулируем условия, при которых мы будем проводить синтез управления.

Условие 1. Каждое из множеств $U(t,z)$ является выпуклым компактом.

Условие 2. При $t<\tau \leq p$ определена функция $D(\tau ,t)\geq 0$ такая, что для любых $t<\tau , \, z\in Z$ выполнено включение

$$U(t,z)\subset \bigcap_{u,v}\Bigl[U(\tau ,z-a(\tau ,t)u+b(\tau ,t)v)+D(\tau ,t)S\Bigl].$$ (1.12)

Здесь пересечение берется по всем $u\in U(t,z), \, v\in V(\tau ,t,z)$.

Условие 3. При $t<\tau \leq p, \, \varepsilon \geq 0$ определена функция $A(\tau ,t,\varepsilon )\geq 0$ такая, что при всех $z\in Z, \, t<\tau \leq p, \, \varepsilon \geq 0$ выполнено включение

$$V(\tau ,t,z)\subset \bigcap_{u,v}\Bigl[ V(\tau ,t,z+\varepsilon u+\varepsilon s)+A(\tau ,t,\varepsilon )S\Bigl].$$ (1.13)

Здесь пересечение берется по всем $u\in U_{\ast }(t,z), \, s\in S$.

Условие 4. При $t<\tau \leq p, \, \varepsilon \geq 0$ определена функция $N(\tau ,t,\varepsilon )\geq 0$ такая, что при всех $z\in Z, \, t<\tau \leq p, \, \varepsilon \geq 0$ выполнено включение

$$P(\tau ,t,z+\varepsilon U_{\ast }(t,z)+\varepsilon S)\subset... ...u ,z -a(\tau ,t)u+b(\tau ,t)v)+N(\tau ,t,\varepsilon )S\Bigl].$$ (1.14)

Здесь пересечение берется по всем $u\in U_{\ast }(t,z), \, v\in V(\tau ,t,z)$.

Условие 5. Стабильный мост удовлетворяет следующему условию замкнутости по $z:\ z_{n}\rightarrow z, \, e\in W(t,z_{n})\Rightarrow e\in W(t,z)$.