5. Построение динамики для повторяющейся биматричной 2$\times$2 игры

В этом разделе рассмотрим повторяющуюся 2$\times$2 игру (см., например, [8]-[11]) и, в частности, повторяющуюся ''дилемму заключенного'' (см., например, [12]-[13]). Для построения динамики мы используем принцип неуменьшения выигрышей игроков, различные типы поведения игроков и введенную в [7] специальную процедуру сужения множества решений, основанную на нэшевских равновесиях во вспомогательных биматричных играх.

Сначала рассмотрим биматричную 2$\times$2 игру $(A,B)$ с матрицами выигрыша 1-го и 2-го игроков соответственно

$$A=\left( \begin{array}[c]{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \... ...eft( \begin{array}[c]{cc} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right)$$ (5.1)

Предполагаем, что каждый игрок представляет большую группу идентичных агентов или популяцию. Тогда смешанные стратегии могут быть реализованы физически. В самом деле, если пара $(p,\,1-p),\;0\leq p\leq1$ есть смешанная стратегия 1-го игрока, а пара $(q,\,1-q),\;0\leq q\leq1$ - смешанная стратегия 2-го игрока, то $p$ и $q$ могут быть интерпретированы как доли всех тех агентов в первой и во второй группах соответственно, кто играет первую чистую стратегию.

Выигрыши 1-го и 2-го игроков определяются как

$$\begin{array}[c]{c} f_{1}(p,q)=cpq-c_{1}p-c_{2}q+a_{22}\\ [1ex] f_{2}(p,q)=dpq-d_{1}p-d_{2}q+b_{22}, \end{array}$$ (5.2)

где

$$\begin{array}{cccccccc} c\ \!=\! &\!\!\! a_{11}-a_{12}-a_{21}... ...2}-b_{12}, & d_{2}\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_{22}-b_{21}. \end{array}$$ (5.3)

Пара $(p,q)$ в единичном квадрате

$$E=\{(p,q):0\leq p\leq1,\;0\leq q\leq1 \}$$

характеризует состояние игры.

Пусть теперь эта биматричная игра повторяется $N$ раз, где $N$ - бесконечное или большое число, неизвестное наперед. Пусть $(p_{0},q_{0})\in E$ - начальное состояние. Предположим, что на шаге $k+1\;(k=0,1,...,N-1)$ игрокам разрешается перейти из текущего состояния $(p_{k},q_{k})\in E$ в любое состояние $(p_{k+1},q_{k+1})\in M_{\alpha}(p_{k} ,q_{k})$, где

$$M_{\alpha}(p_{k},q_{k})=\{(p,q)\in E:\left\vert p-p_{k}\right\vert \leq \alpha,\;\left\vert q-q_{k}\right\vert \leq\alpha\}.$$

Здесь $\alpha$ - положительное, достаточно малое число. Малость $\alpha$ означает, что внутренняя структура групп взаимодействующих агентов эволюционирует достаточно медленно.

Будем реализовывать подход $(p_{k},q_{k})\Longrightarrow(p_{k+1},q_{k+1})$ следуя принципу неуменьшения выигрышей игроков. Существует много вариантов такого перехода. Здесь мы применяем подход, основанный на использовании нэшевских равновесий в вспомогательных биматричных играх (см. [7,14,16]).

Пусть $(p_{k},q_{k})$ - текущее состояние в повторяющейся биматричной игре. Сформулируем следующие задачи.

Задача 5.1   Найти $(p^{1},q^{1})$, максимизирующий функцию $f_{1} (p,q)\,$ $(\ref{f_5_2})$ на множестве $M_{\alpha}(p_{k},q_{k})$ при условии

$$f_{2}(p,q)\geq f_{2}(p_{k},q_{k})$$ (5.4)

Задача 5.2   Найти $(p^{2},q^{2})$, максимизирующий функцию $f_{2}(p,q)$ $(\ref{f_5_2})$ на множестве $M_{\alpha}(p_{k},q_{k})$ при условии

$$f_{1}(p,q)\geq f_{1}(p_{k},q_{k})$$ (5.5)

Теперь сконструируем вспомогательную биматричную игру $(A^{\ast},B^{\ast})$ с матрицами

$$A^{\ast}=\left( \begin{array}[c]{cc} f_{1}(p^{1},q^{1}) & f_{... ...ex] f_{2}(p^{2},q^{1}) & f_{2}(p^{2},q^{2}) \end{array}\right)$$

В этой игре $i$-тая стратегия 1-го игрока есть ``выбрать $p^{i}$'', а $j$-тая стратегия 2-го игрока есть ``выбрать $q^{j}$'' $(i=1,2;\,j=1,2)$. Чтобы достичь $(p_{k+1},$$q_{k+1})$, игроки находят нэшевские равновесия. Легко показывается, что эта биматричная игра имеет по крайней мере одно нэшевское равновесие в классе чистых стратегий. Возможны два случая.

1. Игра имеет единственное нэшевское равновесие $(p^{N},\,q^{N})$. Тогда мы принимаем $(p_{k+1},\,q_{k+1})=(p^{N},\,q^{N})$.

2. Игра имеет два нэшевских равновесия $(p^{N1},\,q^{N1})$ и $(p^{N2} ,\,q^{N2})$. Тогда в качестве $(p_{k+1},\,q_{k+1})$ берем либо $(p^{N1},\,q^{N1})$ либо $(p^{N2} ,\,q^{N2})$ с равной частотой.

Итак, динамика повторяющейся биматричной 2$\times$2 игры определена полностью.

Теперь переходим к повторяющейся ''дилемме заключенного''. В этой игре матрица выигрышей игроков суть

$$A=\left( \begin{array}[c]{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a... ...[c]{cc} a_{11} & a_{21}\\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right),$$

где справедливы неравенства

$$a_{21}>a_{11}>a_{22}>a_{12} \quad 2a_{11}>a_{21}+a_{12}$$ (5.6)

Каждый игрок имеет две стратегии: $C$ (кооперироваться) и $D$ (отклониться). Из (5.6) следует, что пара $(D,D)$ доставляет единственное нэшевское равновесие. На этой паре каждый игрок получает $a_{22}$. В то же время оба игрока получают $a_{11}>a_{22}$ на паре $(C,C)$, которая не является нэшевским равновесием.

Естественно рассмотреть задачу: как следует выбрать типы поведений игроков, чтобы привести начальное состояние $(p_0,q_0)\in E$ в состояние кооперации $(p=1,\;q=1)$, используя описанную выше динамику.

Задача 5.3   Для фиксированного $\alpha >0$ найти начальное состояние $(p_0,q_0)\in E$, для которого описанная выше динамика приводит в состояние кооперации за конечное число шагов, используя только нормальный тип поведения для обоих игроков.

Множество начальных состояний $(p_0,q_0)\in E$, решающих задачу 5.3, обозначим через $E_1$.

Теорема 5.1   Множество $E_{1}$ описывается следующими формулами$:$

$$E_{1}=\{(p,q)\in E:cpq-c_{1}p-c_{2}q+a_{22}\leq a_{11},\; cpq-c_{2}p-c_{1}q+a_{22}\geq a_{11}\},$$

если $c<0$ или $c=0$ или $c>0,$ $c_{1}+c_{2}\leq0,$ и

$$E_{1}=\{(p,q)\in E:cpq-c_{1}p-c_{2}q+a_{22}\leq a_{11},\; cpq-c_{2}p-c_{1}q+a_{22}\geq a_{11},$$

$$c\left( p+q\right) >c_{{}}+c_{2}\},$$

если $c>0,$ $c_{1}+c_{2}>0,$ где $c,\;c_{1}$ и $c_{2}$ определены в $(\ref{f_5_3})$.

Множество $E_1$ изображено на рис. 2-5 для разных случаев.

Задача 5.4   Для фиксированного $\alpha >0$ найти начальное состояние $(p_0,q_0)\in E\backslash E_1$, для которого описанная выше динамика приводит на границу $E_1$ за конечное число шагов, используя только нормальный тип поведения для одного игрока и альтруистический тип поведения - для другого.

Обозначим через $E_2$ ($E_3$) множество начальных состояний, решающих задачу 5.4, используя нормальный тип поведения для 1-го игрока (2-го игрока) и альтруистический тип поведения для 2-го игрока (1-го игрока).

Теорема 5.2   Множества $E_{2}$ и $E_{3}$ описываются формулами

$$E_{2}=\{(p,q)\in E\backslash E_1:cpq-c_{1}p-c_{2}q+a_{22}> a_{11}\},$$

$$E_{3}=\{(p,q)\in E\backslash E_1:cpq-c_{2}p-c_{1}q+a_{22} < a_{11}\}.$$

Множества $E_2$ и $E_3$ изображены на рис. 2-5.

Заметим, что только для случая $c>0$, $c_1 +c_2>0$ имеем $E\neq E_1\cup E_2 \cup E_3$. Обозначим $E_4 =E\backslash \left(E_1\cup E_2 \cup E_3\right)$ (см. рис. 5).

Задача 5.5   Для фиксированного $\alpha >0$ и для начального состояния $(p_0,\;q_0)\in E_4$ найти типы поведений для $1$-го игрока и $2$-го игрока такие, что описанная выше динамика приводит на границу $E_1$ за минимальное число шагов.

Теорема 5.3   Типы поведений $1$-го и $2$-го игроков, решающие
задачу $5.5$, следующие: либо агрессивный тип поведения для обоих игроков, либо парадоксальный тип поведения для обоих игроков.

Рис. 2. Рис. 3.

Рис. 4. Рис. 5.

Поступила 16.07.2000