1. Формализация неантагонистической позиционной дифференциальной игры двух лиц

Пусть динамика неантагонистической позиционной дифференциальной
игры (НПДИ) двух лиц описывается уравнением

$$\dot{x}=f(t,x,u,v),\quad t\in\lbrack t_{0},\theta],\quad x(t_{0})=x_{0} ,$$ (1.1)

где $x\in\mathbb{R}^{n}$ - фазовый вектор, управления© $u\in P\in \mathrm{comp}\,\mathbb{R}^{p}$ и $v\in Q\in \mathrm{comp}\,\mathbb{R}^{q}$ находятся в распоряжении 1-го и 2-го игроков, соответственно;
$\theta$ - фиксированный момент окончания.

Пусть $G$ - компакт в $\mathbb{R}^{1}\times\mathbb{R}^{n}$, проекция которого на ось времени равна заданному отрезку $[t_{0},\theta]$. Предполагаем, что все траектории системы (1.1), начинающиеся в произвольной позиции $(t_{\ast},x_{\ast})\in G$, остаются в $G$ при всех $t\in\lbrack t_{\ast},\theta]$.

Пусть выполнены следующие предположения.

1$^{0}$. Функция $f:G\times P\times Q\mapsto\mathbb{R}^{n}$ непрерывна на множестве аргументов и удовлетворяет условию Липшица по $x$.

2$^{0}$. Существует константа $\lambda>0$ такая, что

$$\left\Vert f(t,x,u,v)\right\Vert \leq\lambda(1+\left\Vert x\right\Vert )$$

для всех $(t,x)\in G$, $u\in P$, $v\in Q.$

Игрок $i$ выбирает свое управление, чтобы максимизировать функционал выигрыша

$$I_{i}=\sigma_{i}(x(\theta)),\quad i=1,2$$ (1.2)

где $\sigma_{i}:\mathbb{R}^{n}\mapsto\mathbb{R}^{1}$ - заданные непрерывные функции.

Предположим, что оба игрока имеют полную информацию о текущей позиции $(t,x(t))$ игры. Формализация стратегии игроков и порождаемых ими движений в НПДИ та же, что и формализация, введенная в антагонистических позиционных дифференциальных играх [1,2] за исключением технических деталей [3]. Чистая стратегия (кратко - стратегия) 1-го игрока отождествляется с парой $U\div\{u(t,x,\varepsilon),\beta_{1}(\varepsilon)\}$, где $u(\cdot)$ - произвольная функция, зависящая от позиции $(t,x)$ и от положительного параметра точности $\varepsilon$ и имеющая значения во множестве $P$. Функция $\beta_{1}:(0,\infty)\mapsto(0,\infty)$ - непрерывная, монотонная, удовлетворяющая условию $\beta_{1}(\varepsilon)\rightarrow0$ при $\varepsilon\rightarrow0$. Функция $\beta_{1}(\cdot)$ имеет следующий смысл. Для фиксированного $\varepsilon$ величина $\beta_{1}(\varepsilon)$ представляет собою верхнюю грань для шага разбиения отрезка $[t_{0},\theta]$, которое 1-й игрок использует при формировании пошагового движения. Стратегия $V\div\left\{ v(t,x,\varepsilon),\beta_{2}(\varepsilon)\right\}$ 2-го игрока определяется аналогично.

Движения двух типов: аппроксимационные (пошаговые) и идеальные (предельные) рассматриваются в качестве движений, порожденных стратегиями игроков. Аппроксимационное движение $x[\cdot,$ $t_{0},$ $x_{0},$ $U,$ $\varepsilon_{1},$ $\Delta _{1},$ $V,$ $\varepsilon_{2},$ $\Delta_{2}]$ вводится для фиксированных значений параметров точности $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$ и для фиксированных разбиений $\Delta_{1}=\{t_{i}^{(1)}\}$ и $\Delta_{2}=\{t_{j}^{(2)}\}$ отрезка $[t_{0},\theta]$, выбираемых 1-ым и 2-ым игроками, соответственно, при условии $\delta(\Delta_{i}$) $\leq\beta_{i}(\varepsilon_{i}),\,i=1,2.$ Здесь $\delta(\Delta_{i})=\max\limits_{k}(t_{k+1}^{(i)}-t_{k}^{(i)}).$ Предельное движение , порожденное парой стратегий $(U,V)$ из начальной позиции $(t_{0},x_{0})$, есть непрерывная функция $x[t]=x[t,t_{0},x_{0},U,V]$, для которой существует последовательность аппроксимационных движений

$$\{x[t,t_{0}^{k},x_{0}^{k},U,\varepsilon_{1}^{k},\Delta_{1}^{k},V,\varepsilon _{2}^{k},\Delta_{2}^{k}]\},$$

равномерно сходящаяся к $x[t]$ на $[t_{0},\theta]$ как только

$$k\rightarrow\infty,\quad\varepsilon_{1}^{k}\rightarrow0,\quad\var... ...rightarrow x_{0,\quad}\delta(\Delta_{i}^{k})\leq\beta_{i}(\varepsilon _{i}^{k})$$.

Пара стратегий $(U,V)$ порождает непустое компактное (в метрике пространства $C[t_{0},\theta])$ множество $X(t_{0},x_{0},U,V)$, состоящие из предельных движений $x[\cdot,t_{0},x_{0},U,V].$

Введем теперь следующие определения [3].

Определение 1.1   Пара стратегий $(U^{N},V^{N})$ называется нэшевским равновесным решением ($NE$-решением) игры, если для любого движения $x^{\ast}[\cdot]\in X(t_{0},x_{0},U^{N},V^{N})$, любого
$\tau\in\lbrack t_{0},\theta],$ и любых стратегий $U$ и $V$ справедливы следующие неравенства

$$\max_{x[\cdot]}\sigma_{1}(x[\theta,\tau,x^{\ast}[\tau],U,V^{N}])\leq\sigma _{1}(x[\theta,\tau,x^{\ast}[\tau],U^{N},V^{N}]),$$

$$\max_{x[\cdot]}\sigma_{2}(x[\theta,\tau,x^{\ast}[\tau],U^{N},V])\leq\sigma _{2}(x[\theta,\tau,x^{\ast}[\tau],U^{N},V^{N}])$$

Определение 1.2   $NE$-решение $(U^{P},V^{P})$, неулучшаемое по Парето относительно величин $I_{1},I_{2}$ $(\ref{f_1_2})$, называется $P^{\ast}$-решением$.$

Определение 1.3   $P^{\ast}$-решение, наилучшее для игрока $i$, называется
$H_{i}$-решением $(i=1,2).$

Пусть теперь выполнены следующие предположения.

3$^{0}.$ 1-й игрок, называемый лидером, объявляет свою стратегию $U^{\ast} \div\{u^{\ast}(t,x,\varepsilon),\beta_{1}^{\ast}(\varepsilon)\}$ 2-му игроку наперед.

4$^{0}$. 2-й игрок, называемый ведомым, имея в виду стратегию $U^{\ast}$ 1-го игрока, выбирает свою рациональную стратегию $V^{\ast}$ из условия

$$\min\sigma_{2}(x[\theta,t_{o},x_{o},U^{\ast},V])\longrightarrow\max\limits_{V} ,$$

где минимум функции $\sigma_{2}$ берется по множеству $X(t_{0},x_{0},U^{\ast},V).$

Задача 1-го игрока заключается в нахождении такой стратегии $U^{S1}$, которая гарантирует ему максимальное значение функционала выигрыша $\sigma_{1}(x[\theta])$ (1.2) при условии рациональности 2-го игрока. (более детальная постановка, включающая рассмотрение различных вариантов выбора из множества рациональных стратегий 2-го игрока, содержится в [3]).

Определение 1.4   Пара стратегий $(U^{S1},V^{S1})$, где $V^{S1}$ - рациональная стратегия $2$-го игрока, соответствующая объявленной стратегии $U^{S1}$, называется $S_{1}$-решением.

$S_{2}$-решение определяется аналогично.