7. Добавление

Конструкции предыдущих разделов могут быть дополнены целым рядом весьма очевидных следствий и естественных аналогов. Мы ограничимся сейчас кратким обсуждением лишь одной возможности, связанной с исследованием универсальности МП по отношению к топологии ${{\tau}^{(1)}}$ (см. раздел 2) пространства, в котором "регистрируется" нарушение ограничений. В этой связи вернемся к следствию 3.1, чтобы отметить полезное

Предложение 7.1   Пусть $X,\;U$ и $V$ - непустые множества; ${{\tau}_1}$ и ${{\tau}_2}$ - топологии множества $U,$ для которых ${{\tau}_1} \subset {{\tau}_2};\;{{\tau}_3}$ - топология множества $V;\;p \in {V^X};\;q \in C(V,{{\tau}_3},U,{{\tau}_2});\;M \in {{\cal P}(U)}.$ Пусть ${\mathrm{cl}}({p^1}(X),{{\tau}_3}) = V$ и, кроме того, справедливо (3.11). Тогда

$${q^{-1}}(M) = ({{\tau}_3} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{(q \circ p)^{-1}}[{{\Bbb N}_{{\tau}_1}}[M]] \mid p] =$$

$$=({{\tau}_3} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{(q \circ p)^{-1}}[{{\Bbb N}_{{\tau}_2}}[M]] \mid p].$$ (7.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из предположений следует, в частности, что $q \in C(V,{{\tau}_3},U,{{\tau}_1}).$ Из следствия 3.1 имеем совпадение множеств
$({{\tau}_3} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{(q \circ p)^{-1}}[{{\Bbb N}_{{\tau}_1}}[M]] \mid p]$ и ${q^{-1}}(M)$; для обоснования достаточно в упомянутом следствии заменить ТП $(V,{{\tau}_2})$ на $(V,{{\tau}_3}).$ C другой стороны, имеем при $u \in U$ вложение ${N_{{\tau}_1}^0}(u) \subset {N_{{\tau}_2}^0}(u)$ и, как следствие, ${N_{{\tau}_1}}(u) \subset {N_{{\tau}_2}}(u).$ Кроме того, ${{\Bbb N}_{{\tau}_1}^0}[M] \subset {{\Bbb N}_{{\tau}_2}^0}[M]$ и, как следствие, ${{\Bbb N}_{{\tau}_1}}[M] \subset {{\Bbb N}_{{\tau}_2}}[M].$ Из (3.11) имеем теперь

$$\forall\,{u} \in U \setminus M\;\exists{H_1} \in {N_{{\tau}_... ...} \in {{\Bbb N}_{{\tau}_2}}[M]:\;{H_1} \cap {H_2} = \emptyset.$$

Теперь рассмотрим следствие 3.1 в условиях замены в его условиях ${{\tau}_2} \longrightarrow {{\tau}_3},\; {{\tau}_1} \longrightarrow {{\tau}_2}.$ В итоге

$$({{\tau}_3} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{(q \circ p)^{-1}}[{{\Bbb N}_{{\tau}_2}}[M]] \mid p] = {q^{-1}}(M),$$

чем и завершается обоснование (7.1).$\Box$

Данное утверждение имеет смысл связать с конструкцией окрестностнозначных отображений.

Предложение 7.2   Пусть $X,\;Q,\;U$ и $V$ - непустые множества; ${\tau}_1$ и ${\tau}_2$ - топологии множества $U,$ причем ${{\tau}_1} \subset {{\tau}_2};\;{{\tau}_3}$ - топология множества $V;\;M \in {{\cal P}(U)};\;\Lambda \in (\mathrm{UNIF})[Q;{{\tau}_1} \mid M];\;\alpha \in {U^X}$ и $\beta \in {V^X}.$ Кроме того, пусть ${\bf g} \in C(V,{{\tau}_3},U, {{\tau}_2})$ обладает свойством $\alpha = {\bf g} \circ \beta.$ Пусть, наконец,

$$({\mathrm{cl}}({{\beta}^1}(X),{{\tau}_3}) = V) \ \ \&$$

$$\& \ \ (\forall\,{u} \in U \setminus M\; \exists{q} \in Q:\;... ...({\bigcup\limits_{\mu \in M}}{\Lambda }(\mu, q)) = \emptyset).$$ (7.2)

Тогда справедливы следующие равенства

$$\begin{array}{c} {{\bf g}^{-1}}(M) = ({{\tau}_3} \textrm{-} ... ...alpha}^{-1}}[{{\Bbb N}_{{\tau}_2}}[M]] \mid \beta]. \end{array}$$

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определений раздела 3 имеем $\forall\,{u} \in U\;\forall\,{q} \in Q:\;{\Lambda }(u,q) \in {N_{{\tau}_1}}(u).$ Кроме того, имеем $\Lambda \in {{\cal O}_M}(Q,{{\tau}_1}),$ а тогда $\forall\,{q} \in Q:$

$${\bigcup\limits_{\mu \in M}}{\Lambda }(\mu,q) \in {{\Bbb N}_{{\tau}_1}}[M].$$

Но в этом случае (см.(7.2)) выполняется (3.11). Воспользуемся предложением 7.1 в условиях, когда $p = \beta$ и $q = {\bf g}$. Тогда

$${{\bf g}^{-1}}(M) = ({{\tau}_3} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{... ...{LIM}})[{{\alpha}^{-1}}[{{\Bbb N}_{{\tau}_2}}[M]] \mid \beta].$$ (7.3)

Мы учли здесь представление $\alpha$ в виде суперпозиции. Обратимся теперь к предложению 3.1, заменяя в его условиях ${{\tau}_2}$ на ${{\tau}_3}$ и учитывая, что ${\bf g} \in C(V,{{\tau}_3},U,{{\tau}_1}).$ Тогда

$$({{\tau}_3} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{{\alpha}^{-1}}[{{\Bb... ...ha}^{-1}}[{\cal U}(Q,{{\tau}_1},M \mid \Lambda )] \mid \beta].$$ (7.4)

Из (7.3), (7.4) вытекает требуемое утверждение.$\Box$

На основе предложений 7.1 и 7.2 можно построить конкретизации, допускающие применение к исследованию основной задачи данного раздела по рецептам раздела 5. Мы ограничимся лишь несколькими наблюдениями, имеющими своей целью построение более универсальных, в отношении способа ослабления ${\bf Y}$-ограничения, МП. Вернемся к задаче раздела 2, где первоначально были фиксированы лишь непустые множества ${\bf F},\;{\bf X}$ и ${\bf H},$ операторы $s \in {{\bf X}^{\bf F}}$ и $h \in {{\bf H}^{\bf F}},$ а также множество ${\bf Y} \in {{\cal P}({\bf X})},$ что вполне достаточно для постановки, ориентированной на определение ${h^1}({s^{-1}}({\bf Y})).$ При переходе к асимптотической версии данной постановки множество ${\bf H}$ было оснащено топологией ${{\tau}^{(2)}}$ в определенной степени ``стандартно", в то время как оснащение ${\bf X}$ весьма неочевидно (см. раздел 2). Принимая в качестве естественного вариант ослабления ${\bf Y}$-ограничения путем использования окрестностей множества ${\bf Y}$ вместо самого ${\bf Y},$ логично ориентироваться на некоторый набор возможных топологий ${\bf X}$ и стремиться при этом к универсальному, для данного набора, МП в качестве регуляризации ДМ. В этой связи мы вместо ${{\tau}^{(1)}}$ введем в рассмотрение две (сравнимых) топологии ${{\tau}_{\bf l}^{(1)}}$ и ${{\tau}_{\bf u}^{(1)}}$ множества ${\bf X},$ для которых имеет место ${{\tau}_{\bf l}^{(1)}} \subset {{\tau}_{\bf u}^{(1)}}.$ Соответственно, полагаем

$$({{\cal Y}_{\bf l}} \stackrel{\triangle}{=}{{\Bbb N}_{{\tau}... ...krel{\triangle}{=}{{\Bbb N}_{{\tau}_{\bf u}^{(1)}}}[{\bf Y}]).$$ (7.5)

В отношении $({\bf H},{{\tau}^{(2)}})$ сохраняем прежние предположения. В части определения модели внесем одно изменение, по-прежнему полагая в дальнейшем, что $({\bf K},{{\tau}^{(3)}}),\;{\bf K} \ne \emptyset,$ есть ТП, $m \in {{\bf K}^{\bf F}}$ и $\omega \in C({\bf K},{{\tau}^{(3)}},{\bf H}, {{\tau}^{(2)}}).$ Именно, мы полагаем теперь, что $g \in C({\bf K},{{\tau}^{(3)}},{\bf X},{{\tau}_{\bf u}^{(1)}}).$ Наконец, мы полагаем, как и прежде, выполненным условие (5.3). Отметим теперь некоторые совсем простые следствия, ограничиваясь замечаниями.

З а м е ч а н и е 7.1. Предположение относительно функции $g$ означает в силу сравнимости топологий ${{\tau}_{\bf l}^{(1)}},\;{{\tau}_{\bf u}^{(1)}}$ факт "универсальной" непрерывности данной функции, поскольку в рассматриваемом случае непременно имеет место свойство

$$g \in C({\bf K},{{\tau}^{(3)}},{\bf X},{{\tau}_{\bf l}^{(1)}}).$$

Стало быть, при наших условиях функция $g$ непрерывна и как отображение из ТП $({\bf K},{{\tau}^{(3)}})$ в ТП $({\bf X},{{\tau}_{\bf l}^{(1)}}),$ и как отображение из ТП $({\bf K},{{\tau}^{(3)}})$ в
ТП $({\bf X},{{\tau}_{\bf u}^{(1)}}).$

З а м е ч а н и е 7.2. В силу сравнимости двух вышеупомянутых топологий множества ${\bf X}$ имеем следующее свойство. Если имеет место

$$\forall\,{\bf x} \in {\bf X} \setminus {\bf Y}\;\exists{H_1}... ...s{H_2} \in {{\cal Y}_{\bf l}}:\; {H_1} \cap {H_2} = \emptyset,$$ (7.6)

то непременно выполняется следующее условие

$$\forall\,{\bf x} \in {\bf X} \setminus {\bf Y}\;\exists{H_1}... ...s{H_2} \in {{\cal Y}_{\bf u}}:\; {H_1} \cap {H_2} = \emptyset.$$ (7.7)

Итак, постулируя условие (7.6), мы "автоматически" получаем его аналог в виде (7.7). Стало быть, и в вопросе отделения с окрестностями точек из ${\bf X} \setminus {\bf Y}$ от ${\bf Y}$ посредством (7.6) обеспечивается определенная универсальность. Эту универсальность можно интерпретировать, как универсальность в смысле соблюдения условия 5.1.

З а м е ч а н и е 7.3. Допустим, что заданы непустое множество ${\bf Q}$ и
некоторое (окрестностнозначное) отображение ${{\Lambda }_0} \in (\mathrm{UNIF})[{\bf Q};{{\tau}_{\bf l}^{(1)}} \mid {\bf Y}]$ (т.е. реализуется вариант соглашения раздела 5 при ${{\tau}^{(1)}} = {{\tau}_{\bf l}^{(1)}}$). Разумеется, ${{\Lambda }_0} \in {{\cal O}_{\bf X}}({\bf Q},{{\tau}_{\bf l}^{(1)}}).$ Как следствие, ${{\Lambda }_0} \in {{\cal O}_{\bf X}}({\bf Q},{{\tau}_{\bf u}^{(1)}}).$ С учетом (3.5) имеем, что

$${{\Lambda }_0} \in (\mathrm{UNIF})[{\bf Q};{{\tau}_{\bf u}^{(1)}} \mid {\bf Y}].$$

Если теперь ввести ${\mathfrak Y} \stackrel{\triangle}{=}{\cal U}({\bf Q}, {{\tau}_{\bf l}^{(1)}},{\bf Y} \mid {{\Lambda }_0}),$ то справедливо также равенство ${\mathfrak Y} = {\cal U}({\bf Q},{{\tau}_{\bf u}^{(1)}}, {\bf Y} \mid {{\Lambda }_0}).$ Это свойство вытекает из (3.6). Теперь и использование условия 5.2 становится, по существу, "универсальным", т.е. применимым и к случаю ${{\tau}^{(1)}} = {{\tau}_{\bf l}^{(1)}},$ и к случаю ${{\tau}^{(1)}} = {{\tau}_{\bf u}^{(1)}}$ (см., например, предложение 5.6, теорему 5.3). Поэтому условие 5.2 может быть отнесено к обоим вариантам топологического оснащения множества ${\bf X}.$ Три упомянутых замечания позволяют в условиях настоящего раздела рассматривать теоремы раздела 5 в двух вариантах: при ${{\tau}^{(1)}} = {{\tau}_{\bf l}^{(1)}}$ и ${{\tau}^{(1)}} = {{\tau}_{\bf u}^{(1)}}.$ На самом деле упомянутые теоремы реализуются в диапазоне ограничений асимптотического характера (см. в качестве примера свойство, упомянутое непосредственно после предложения 5.6).

Выводы. Результаты, полученные на основе использования модели, которую характеризует кортеж $(K,{{\tau}^{(3)}},m,g,\omega),$ определяют (при сравнительно необременительных условиях) в виде ${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y}))$ весьма универсальную, в смысле варьирования способа ослабления ${\bf Y}$-ограничения, регуляризацию задачи о построении МДЭ и ДМ. В этом отношении показательны, в частности, утверждения, реализуемые в виде положений раздела 5 с учетом замечаний 7.1-7.3 в терминах пары сравнимых топологий множества ${\bf X}$. Предложения 7.1, 7.2 с учетом утверждений раздела 5 наглядно характеризуют универсальную обобщенную задачу, реализующую "стандартное" ДМ ${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})).$ В части характеризации диапазона ограничений асимптотического характера отметим, что для сильнейшей из двух вышеупомянутых топологий ${\bf X}$ используется, для построения ослабленных версий ${\bf Y}$-ограничения, семейство всех окрестностей множества ${\bf Y}.$ Тем самым реализуется семейство ${\cal Y}_{\bf u},$ элементы которого используются в качестве допустимых (к использованию для целей "размывания" ${\bf Y}$-ограничения) окрестностей. Тем самым реализуется режим, наиболее приближенный к условиям невозмущенной задачи. Для слабейшей из рассматриваемых топологий (т.е. для топологии ${{\tau}_{\bf l}^{(1)}}$), напротив, целесообразно сокращение семейства допустимых окрестностей до ${\mathfrak Y}$ (см. замечание 7.3). Отметим, что конкретный вариант использования двух сравнимых топологий (см. Замечания 7.1-7.3) рассматривался в [25] (см. также [11,26]).

Поступила 15.09.99