2. Непрерывные стратегии

Предположим теперь, что игрок, выбирающий число $\vartheta_0$, использует некоторое непрерывное отображение

$$\vartheta_0:C^0\rightarrow[0,2]$$ (2.1)

чтобы назначить величину $\vartheta_0=\vartheta_0(x(\cdot))$ по обратной связи. (Другие возможные ограничения на это отображение будут обсуждаться ниже.) Здесь $C^0$ обозначает пространство всех непрерывных скалярных функций, снабженное стандартной равномерной нормой. Оказывается, что, каким бы ни было непрерывное отображение (2.1), оно не гарантирует ненулевой результат $\gamma(x(\cdot))$. Для любого непрерывного отображения $\vartheta_0=\vartheta_0(x(\cdot))$ существует управление $u$ такое, что функционал платы $\gamma(x(\cdot))$ обращается в нуль. Здесь достаточно использовать постоянные управления $u\equiv\mbox{const}$, не зависящие от переменной $t$. Можно даже позволить числу $\vartheta_0=\vartheta_0(x(\cdot),u)$ зависеть также от параметра $u$.

Можно сформулировать этот факт как следующий признак существования для краевой задачи с зависящей от решения точкой в краевом условии.

Предложение. Для произвольного непрерывного отображения $\vartheta_0:C^0\times[-1,0]\rightarrow[0,2]$ существует константа $u\in[-1,0]$ и абсолютно непрерывная скалярная функция $x(t)$, $t\in[0,2]$, удовлетворяющие краевой задаче $(\ref{e1}), (\ref{e3}), (\ref{e6})$ с условием

$$x(\vartheta_0(x(\cdot),u))=0.$$ (2.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для того чтобы установить разрешимость краевой задачи (1.1), (1.2), (2.2), рассмотрим начальную задачу (1.1), (1.2) и выберем параметр $u$ так, что выполняется краевое условие (2.2). Для числа $u\in[-1,0]$ обозначим через $x_u(\cdot)$ единственное решение начальной задачи (1.1), (1.2), отвечающее выбранной величине $u$. В соответствии с (1.3), имеем формулу

$$x_u(t)= \frac{t^2}{2}+ut.$$ (2.3)

Таким образом, выполняются неравенства

$$x_{-1}(t)\leq0, \qquad x_0(t)\geq0$$ (2.4)

для всех $t\in[0,2]$. Рассмотрим функцию

$$\Psi(u)=x_u(\vartheta_0(x_u(\cdot),u)).$$

Отметим, что $\Psi(u)$ является непрерывной скалярной функцией, определенной для всех $u\in[-1,0]$. Из неравенств (2.4) следует, что $\Psi(-1)\leq0$, $\Psi(0)\geq0$. Итак, функция $\Psi$ обращается в нуль в некоторой точке из $[-1,0]$. Для этой точки $u$ функция $x_u(\cdot)$ удовлетворяет краевому условию (2.2). Таким образом, краевая задача (1.1), (1.2), (2.2) имеет решение. Предложение доказано.

Непрерывное отображение (2.1) выше является произвольным. Это не приводит к какому-либо противоречию, если формально рассматривать соответствующую краевую задачу или если рассматривать связанную с ней систему управления, предполагая, что переменная $t$ есть некоторая координата. (Случай координаты в несколько похожих задачах изучался в [12, 13], где назначаемые по обратной связи точки были не моментами времени, а координатами сосредоточенных источников тепла на нагреваемом стержне и рассматривался класс задач конфликтного управления.) Однако, если величина $t$ трактуется как переменная времени, представляется не имеющим смысла позволять игроку, выбирающему момент времени $\vartheta_0$, использовать информацию о будущем развитии процесса. В этом случае отображение (2.1) должно быть стеснено следующим условием неупреждаемости:

(NA) Для любых $y(\cdot),z(\cdot)\in C^0$ таких, что для всех $s\in[0,\vartheta_0(y(\cdot))]$ выполняется $y(s)\equiv z(s)$ имеем $\vartheta_0(y(\cdot))=\vartheta_0(z(\cdot))$.

Это условие позволяет рассматривать $\vartheta_0$ как время завершения игры. Условие неупреждаемости для отображений вида $\vartheta_0=\vartheta_0(x(\cdot),u)$ можно сформулировать в точности так же.

Условие (NA) или его аналоги не использовались в доказательстве предложения.