5. Двусторонние оценки точки Черныха.

Пусть Рассмотрим следующее множество функций

- неубывающая на функция ограниченной вариации , которое является выпуклым подмножеством пространства

О п р е д е л е н и е. Положительное число назовем точкой Черныха для множества если одновременно выполняются следующие два условия:

(a) для любой функции найдется точка в которой

(b) для произвольного числа найдутся функция и число такие, что при всех

Результаты (11), (13) эквивалентны равенству

Из результатов В.Ю.Попова [13, теорема 3,] следуют неравенства

Основным результатом этого пункта является

Лемма 1.

Для точки Черныха имеют место следующие двусторонние оценки

где - первый положительный нуль нормированной функции Бесселя индекса определенной с помощью формул и .

З а м е ч а н и е 6. При в силу равенства (56), имеем При оценка сверху в (58) совпадает с оценкой сверху в (57), а при уточняет ее, т.к. (см. [25, гл. 15,]).

Д о к а з а т е л ь с т в ол е м м ы 1. Оценка снизу получается с помощью функции которая, как нетрудно видеть, принадлежит множеству Доказательство оценки сверху

будем проводить по схеме Н.И.Черныха [7]. Построим вес - неотрицательную, ненулевую и интегрируемую функцию удовлетворяющую условиям

при

Эти условия будут влечь неравенство (59), т.к. для каждой функции

где функция не убывает на полуоси и

из будут справедливы соотношения

Искомый вес при построил Н.И.Черных [7], при - В.Ю.Попов [13], а при искомый (одномерный) вес выводится (путем перехода к радиальным функциям) из (многомерного) веса, который построил В.А.Юдин в работе [10]. "Интерполяция" указанных весов на случай любого (вещественного) приводит к следующей конструкции нужного нам (одномерного) веса. Положим

где

есть оператор сдвига с шагом t (см. (40)). Нам понадобятся следующие свойства этого оператора [28, § 7,]:

1) если функция при , то при ,

2) если F(x)=0 при то при
Из этих свойств вытекает, что вес v, определенный формулой (61) является неотрицательным и v(x)=0 для Поэтому, учитывая самосопряженность сдвига (лемма A) и формулу умножения Гегенбауэра (41), получаем равенства, в которых через обозначена функция

где

- обычная функция Бесселя индекса (см. формулу (19)). Как известно (см. [28, стр. 112,]), функция удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению второго порядка

где Применяя стандартный прием с использованием уравнения (63), получаем

Поскольку

имеем Отсюда, (62), (63) и (64) вытекает, что

при То есть вес v, задаваемый формулой (61), удовлетворяет условию (60). Лемма доказана.