Пример небольшого слайда для демонстрации с экрана компьютера, выполненный с помощью класса slides.

Основные результаты. Остановимся вначале на случае $L^2({\bf S}^1)$.
В этом случае $\lambda =0,\ {\bf S}^1 \ -$ обычная окружность. Функции $f$ из $L^2({\bf S}^1)$ можно отождествить с $2\pi$-периодическими функциями $F(u)=f(e^{iu})$ из $L^2_{2\pi}.$ Задача (1), (2) сводится к задаче о наименьшей константе $K=K(\tau,n,r,0)={\cal K}^2(\tau,n,r,2)$ в неравенстве

$$\sum_{k\geq n}\rho_k \leq K\, \sup _{0<t\leq \tau} \sum_{k\geq 1}\rho _k \{ 1-\cos \, kt \} ^r,$$

$$\sum_{k\geq 1}\rho_k<\infty,\quad \rho_k \geq 0,\quad k=1,2,\ldots .$$

Первые точные результаты в этой задаче получил Н.И. Черных , которые в терминах, принятых здесь, можно записать в следующем виде

$$K(\tau,n,1,0)=1, \tau\geq \pi/n, n=1,2, \ldots ,$$

$$K(\tau,n,1,0)>1,\quad 0<\tau < \pi/n,\quad n=1,2, \ldots ,$$

$$K(\tau,n,r,0)=\frac{2^r}{{{2r}\choose r}}= \frac{2^r\{\Gamma(r+1)\}^2}{\Gamma(2r+1)},$$

$$\tau\geq 2\pi/n,\quad n>r,\quad r=2,3, \ldots\, .$$

В работах автора найдена $K \left( {\frac{\pi}{ln}}, n, 1, 0 \right)$ для натуральных $l \geq 1+3n/2, \ \ n=1,2, \ldots$, а также для натуральных $l \in [3n/4,\ 3n/2], n \geq 10$. В работе М.Ж.Шакеновой утверждение, равносильное тому, что равенство (3) остается верным и в случае вещественного $r>0,\ \tau=2\pi/n.$ Перейдем к многомерному случаю

$$L^2({\bf S}^{m-1}),\ \ m \geq 3, \lambda =(m-2)/2.$$

Минимальное положительное значение аргумента функции $R_n=R_{n,\lambda }$, при котором она достигает локального минимума, локального максимума, обозначим через $h_{n,\lambda }$ и $t_{n,\lambda }$ соответственно. Единственный корень уравнения $R_n(u)=R_n(t_{n,\lambda }),\ \ u\in (0,h_{n,\lambda })$ обозначим через $v_{n,\lambda }$.
В.Ю. Попов установил, что

$$K^2 (\tau,n,r,m)=\{ 1-R_n(\tau) \}^{-r}$$

при $m=3,4, \ldots ,\ r=2,4, \ldots ,\ n=1,2,\ldots, \ 0< \tau \leq v_{n,\lambda }$, хотя его доказательство проходит и в случае вещественного $r>0$. В совместной работе В.В. Арестова и В.Ю. Попова был анонсирован следующий результат для случая $m=3,4$

$${\cal K}\left( \frac{2\pi}{n+1} , n, 2r, m \right) = 1,\ r=1,2, \ldots , \ n=1,2, \ldots .$$

Для $\lambda \geq 0,\ n=1,2, \ldots$ обозначим через $\tau_{n, \lambda }$ первый положительный нуль косинус-полинома Гегенбауэра $C_n^{\lambda } (\cos \tau)$

$$\tau_{ n, \lambda } = \min \{ \tau >0:\ C^{\lambda }_n (\cos \tau) =0 \}.$$

В настоящей статье доказана

Теорема 1   Пусть $n=1,2, \ldots$. Тогда выполняются следующие утверждения [ (A)] при $\lambda \geq 0$ для каждой функции $F\in L^2_{\lambda },\ F\not \equiv {\rm const}$ справедливы неравенства

$$E_{n-1} (F)_{\lambda } < \omega_r (F, 2\tau_{n, \lambda } )_{\lambda };\quad r\geq 1,$$

$$E_{n-1}(F)_{\lambda }<2^{(1-r)/2}\omega_r(F,2\tau_{n,\lambda })_{\lambda },\quad 0< r < 1;$$

[ (B)] при $\lambda >0$ для любого $\tau \in (0, \pi)$ существует последовательность функций $F_k$ $(k=1,2,\ldots)$ из $L^2_{\lambda }$ такая, что

$$\lim_{k\rightarrow \infty} E_{n-1} (F_k)_{\lambda } / \omega _r(F_k, \tau)_{\lambda } \geq 1,\ \ \ r>0.$$

[ (C)] при $\lambda >0$ существует последовательность функций $F_k\ (k=1,2,\ldots)$ из $L^2_{\lambda }$ такая, что

$$\Blue{\lim_{k\rightarrow \infty} E_{n-1}(F_k)_{\lambda }/\omega _r(F_k,\pi)_{\lambda } \ge 1, \quad 0<r\le 1.}$$

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Утверждение (B) теоремы 2.1 принадлежит В.В. Арестову (см. ниже лемму 4.2).

ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Для $\lambda =0,\ r=1$ утверждения теоремы 2.1 получены Н.И. Черных , а при $\lambda =0,\ r > 1$ утверждение (A) теоремы 2.1 доказано В.В. Шалаевым
В данной работе изучается вопрос о точной константе ${\cal K}={\cal K}(\tau,n,r,m),\ \tau>0,\ n\in{\bf N},\ r>0,\ m=2,3,\ldots$ в неравенстве Джексона-Стечкина

$$E_{n-1}(f) \leq {\cal K} \omega _r(f,\tau),\quad f \in L^2,\hspace{1cm} \Blue{(1)}$$

т.е. величина

$${\cal K} (\tau,n,r,m) =\sup \{ \frac{E_{n-1}(f)}{\omega_r(f,\tau)}:\ f\in L^2,\hspace{1cm}\Blue{(2)}$$

$$f\not \equiv {\rm const}\} .$$

$$K(\tau,n,r,0)=\frac{2^r}{{{2r}\choose r}}= \frac{2^r\{\Gamma(r+1)\}^2}{\Gamma(2r+1)},\quad \hspace{1cm} \Blue{(3)}$$

$$\tau\geq 2\pi/n,\quad n>r,\quad r=2,3, \ldots\, .$$