Пример математической HTML-статьи, полученной LaTeX2HTML 98.1.

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН

Том 5 1997



УДК 512.542.3

О p-РЕГУЛЯРНЫХ ГРУППАХ


А. А. Финогенов

Аннотация:

Приводится простое доказательство регулярности конечных p-групп класса нильпотентности меньше p, не использующее собирательный процесс Холла, и обобщаются некоторые результаты Гровза о многообразиях, минимальных среди содержащих не регулярные p-группы.

Регулярные p-группы были введены в рассмотрение Ф.Холлом [6] в 1933 году и активно исследовались многими авторами. Основным результатом, стимулировавшим их изучение, была так называемая собирательная формула Холла. Ее доказательства, несмотря на значительные улучшения ([1], [8]) остаются довольно трудными, так как основаны на применении собирательного процесса. В данной статье приводится простое доказательство собирательной формулы Ф.Холла, не использующее собирательный процесс, и обобщаются некоторые результаты Гровза [5]. Мы будем использовать стандартные обозначения [1]. Кроме того, положим (x, y) = y^-px^-p(xy)^p. Будем называть группу p-регулярной (везде далее p -- простое число, не равное 2), если для любых x, y $\in$ G

(x, y) $$\in$$ ($$\langle$$x, y$$\rangle{^\prime}$$)^p

и p-абелевой, если (x, y)=1. Регулярные p-группы в смысле Ф. Холла -- это в точности конечные p-регулярные p-группы. Интересно, что многие утверждения о конечных регулярных p-группах легко переносятся на p-регулярные нильпотентные группы [4]. Для этого достаточно заменить в доказательствах индукцию по порядку группы на индукцию по классу нильпотентности.
Лемма 1. Если G -- группа с тождеством (x[y, z])^p = x^p, x, y $\in$ G, c $\in$ G' и s -- целое, то

1.

(xc)^p = x^p;

2.

exp (G') = p, G^p $\leq$ Z(G); [2]

3.

(x^s, y^s) = (x, y)^s.

Д о к а з а т е л ь с т в о.
(1) Пусть c можно представить в виде произведения n коммутаторов. Тогда (xc)^p = (xd[a, b])^p = (xd )^p, где d представим уже в виде произведения n - 1 коммутатора, и очевидная индукция показывает, что (xc)^p = x^p.
(2) Взяв x = 1, из (1) получим exp (G') = p. Из равенства (x^p)^y = (x^y)^p = (x[x, y])^p = x^p следует G^p $\leq$ Z(G).
(3) С одной стороны (x^sy^s)^p = x^psy^ps(x^s, y^s), но с другой стороны для некоторого c $\in$ G' (x^sy^s)^p = ((xy)^sc)^p = (xy)^ps = (x^py^p(x, y))^s = x^psy^ps(x, y)^s. И после приравнивания и сокращений получим требуемое.
Предложение 1. Для нильпотентной группы G следующие утверждения эквивалентны:

1.

G p-регулярна.

2.

Любая 2-порожденная секция (секцией будем называть факторгруппу подгруппы) группы G, удовлетворяющая тождеству (x[y, z])^p = x^p, p-абелева.

Д о к а з а т е л ь с т в о.
1 $\Rightarrow$ 2. Ясно, что любая секция p-регулярной группы сама p-регулярна, а ее p-абелевость следует из (2) леммы 1.
2 $\Rightarrow$ 1. Воспользуемся индукцией по классу нильпотентности. Пусть a, b $\in$ G, H = $\langle$a, b$\rangle$/($\langle$a, b$\rangle{^\prime}$)^p; x, y, z $\in$ H и P = $\langle$x,[y, z]$\rangle$. Заметим, что cl (P) < cl (H) $\leq$ cl (G), а так как любая секция p является также и секцией G, по предположению индукции p p-регулярна, а значит, и p-абелева. Следовательно, (x[y, z])^p = x^p[y, z]^p = x^p, и по условию H p-абелева. Отсюда a^-pb^-p(ab)^p $\in$ ($\langle$a, b$\rangle{^\prime}$)^p.

Определение 1. Будем называть многообразие минимальным не p-регулярным¹, если оно содержит не p-регулярную группу, но все его собственные подмногообразия состоят из p-регулярных групп. Пусть P -- свободная группа нильпотентного минимального не p-регулярного многообразия групп со свободным базисом {a, b} и cl (P) = n. Ясно, что P не p-регулярная и, значит, порождает все многообразие. Из предложения 1 следует, что на p выполнено тождество (x[y, z])^p = x^p, и по (2) леммы 1 exp(P') = p. Определим коммутаторные слова u_i(a, b), (i = 1,..., p - 1) следующим образом: поскольку P/$\gamma_{n}^{}$(P) p-абелева (так как она лежит в собственном подмногообразии), то (a, b) $\in$ $\gamma_{n}^{}$(P), и, значит, на P выполнено

(a, b) = $$\prod_{i=1}^{p-1}$$u_i(a, b),      (*)

где u_i(a, b) - такое произведение простых коммутаторов от a, b веса n, что количество вхождений a в коммутаторы из u_i(a, b) сравнимо с i по модулю p-1.
Предложение 2. Пусть P -- свободная группа нильпотентного минимального не p-регулярного многообразия со свободным базисом {a, b}, и cl (P) = n. Тогда n = 1 + k(p - 1) и k $\geq$ 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как {a, b} -- свободный базис и u_i(a, b) состоит из коммутаторов веса n, по [1, 3.6.8], для любого целого s

(a^s, b^s) = $$\prod_{i=1}^{p-1}$$u_i(a^s, b^s) = $$\prod_{i=1}^{p-1}$$u_i(a, b)^sn = (a, b)^sn.

С другой стороны, по (3) леммы 1 (a^s, b^s) = (a, b)^s. Заметим, что, так как (a, b)$\ne$1, по (2) леммы 1 |(a, b)| = p. Итак, s $\equiv$ sⁿmod p для любого s. Отсюда следует, что n = 1 + k(p - 1). Очевидно, k$\ne$ 0. $\square$ Если в многообразии есть не p-регулярная группа, то стандартные рассуждения показывают, что это многообразие содержит минимальное не p-регулярное подмногообразие. А так как по предложению 1 многообразие групп класса p - 1 не может содержать минимального не p-регулярного подмногообразия, мы получаем утверждение, эквивалентное собирательной формуле Ф.Холла:
Следствие 1. (Ф.Холл) Группы класса нильпотентности p - 1 p-регулярны. Нашей следующей целью будет доказательство двух утверждений:
Теорема 1. Пусть в каждой группе G из нильпотентного многообразия для всех целых s и m (0$\le$s < m) и элементов x, y из G выполнено:

[c₁,..., c_n] $$\in$$ $$\gamma_{n+1}^{}$$(G) ^. (G')^p,

где c₁,..., c_n $\in$ {x, y}; n = 1 + (s + m)(p - 1) и в последовательности c₁,..., c_nx встречается 1 + s(p - 1) раз, а y -- m(p - 1) раз. Тогда любая группа из этого многообразия p-регулярна.
Следствие 2.(Гровз [5])Многообразие групп класса не более 3(p - 1) состоит из p-регулярных групп тогда и только тогда, когда в каждой группе G из этого многообразия для любых x, y $\in$ G выполнено условие:

[x,$$\underbrace{y,\ldots ,y}_{p-1}^{}\,$$] $$\in$$ $$\gamma_{p+1}^{}$$(G) ^. (G')^p.

Нам потребуется

Лемма 2. Пусть G -- группа с тождеством (x[y, z])^p = x^p. Тогда для любых элементов x, y, z $\in$ G и целых чисел s и t выполнено:

1.

(x, y) = (y, x);

2.

(x, y)(xy, z) = (y, z)(x, yz);

3.

(x^{s - t}, x^ty) = (x^t, y)^-1(x^s, y);

4.

(x^{s + p}, y)^{t + p} = (x^s, y)^t.

Д о к а з а т е л ь с т в о.
(1) (x, y) = y^-px^-p(xy)^p = x^-py^-p(yx[x, y])^p = x^-py^-p(xy)^p = (y, x).
(2) С одной стороны (xyz)^p = (xy)^pz^p(xy, z) = x^py^p(x, y)z^p(xy, z). С другой -- (xyz)^p = x^p(yz)^p(x, yz) = x^py^pz^p(y, z)(x, yz) и после приравнивания и сокращений получим (2).
(3) Следует из (2), если подставить x^{s - t} вместо x, x^t вместо y и y вместо z.
(4) Следует из (2) леммы 1, так как (x, y) $\in$ G' и (xz, y) = (x, y), если z $\in$ Z(G).

Лемма 3. Если a₁,..., a_{p - 1} и b₁,..., b_{p - 1} -- элементы аддитивной элементарной абелевой p-группы и

a_j = $$\sum_{i=1}^{p-1}$$b_i ^. jⁱ,        (j = 1,..., p - 1),

то

b_i = - $$\sum_{j=1}^{p-1}$$a_j ^. j^{p - 1 - i},        (i = 1,..., p - 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о.
Условие леммы можно записать в виде A = B ^. M, где A = (a₁,..., a_{p - 1}) и B = (b₁,..., b_{p - 1}) - "векторы", а

M = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1^1 & 2^1 & \ldots & (p-... ... & \vdots\\ 1^{p-1} & 2^{p-1} & \ldots & (p-1)^{p-1} \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{cccc} 1^1 & 2^1 & \ldots & (p-1)^1\\ 1^2 & 2^2... ...s & \ddots & \vdots\\ 1^{p-1} & 2^{p-1} & \ldots & (p-1)^{p-1} \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1^1 & 2^1 & \ldots & (p-... ... & \vdots\\ 1^{p-1} & 2^{p-1} & \ldots & (p-1)^{p-1} \end{array} }\right)$$

- матрица с элементами из Z/pZ. Пусть

N = - $$\left(\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1^{p-2} & 1^{p-3} & \ldo... ...vdots\\ (p-1)^{p-2} & (p-1)^{p-3} & \ldots & (p-1)^0 \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{cccc} 1^{p-2} & 1^{p-3} & \ldots & 1^0\\ 2^{p-... ...\ddots & \vdots\\ (p-1)^{p-2} & (p-1)^{p-3} & \ldots & (p-1)^0 \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{cccc} 1^{p-2} & 1^{p-3} & \ldo... ...vdots\\ (p-1)^{p-2} & (p-1)^{p-3} & \ldots & (p-1)^0 \end{array} }\right)$$

Воспользовавшись тем, что

$$\sum_{i=1}^{p-1}$$i^{p - 1} $$\equiv$$ - 1modp,        $$\sum_{i=1}^{p-1}$$i^r $$\equiv$$ 0mod p

при r $\not\equiv$0modp-1 [1, 3.9.6], легко проверить, что M ^. N - единичная матрица и, значит, B = A ^. N. Что и требовалось доказать.

Лемма 4. Пусть P -- свободная группа нильпотентного минимального не p-регулярного многообразия со свободным базисом {a, b}, и cl (P) = n. Тогда

1.

(a^t, b) = $\prod\limits_{i=1}^{p-1}$u_i(a, b)^ti,        (t = 1,..., p - 1);

2.

(b, a^t) = $\prod\limits_{i=1}^{p-1}$u_{p - i}(b, a)^ti,        (t = 1,..., p - 1);

3.

u_i(a, b) = $\prod\limits_{t=1}^{p-1}$(a^t, b)^{-t(p - 1 - i)},        (i = 1,..., p - 1);

4.

u_{p - i}(b, a) = $\prod\limits_{t=1}^{p-1}$(b, a^t)^{-t(p - 1 - i)},        (i = 1,..., p - 1);

5.

u₁(a, b) = u_{p - 1}(b, a);

6.

u₁(a, a^tb)^t = $\prod\limits_{i=1}^{p-1}$u_i(a, b)^{$\lambda_{i}$ti}, где $\lambda_{i}^{}$ = (- 1)^{i - 1}$\left(\vphantom{{p-2 \atop i-1}}\right.$${p-2 \atop i-1}$ $\left.\vphantom{{p-2 \atop i-1}}\right)$,     (i = 1,..., p - 1),     (t = 1,..., p - 1).

7.

u₁(a, b)$\ne$1, u_{p - 1}(b, a)$\ne$1.

Д о к а з а т е л ь с т в о.
(1) Следует из определения u_i(a, b) и (2) леммы 1.
(2) Так как n $\equiv$ 1modp-1 то, как легко проверить, количество вхождений a в коммутаторы из u_{p - i}(b, a) сравнимо с i по модулю p - 1. Так как $\gamma_{n}^{}$(P) элементарная абелева, (3) и (4) следуют, по лемме 3 из (1) и (2), соответственно.
(5) следует из (3) и (4) так как по (1) леммы 2 (a, b) = (b, a).
(6) В доказательстве этого пункта будем использовать для элементов из $\gamma_{n}^{}$(P) аддитивную запись. Итак, по (4):

u₁(a, a^tb) = - $$\sum_{m=1}^{p-1}$$(a^m, a^tb)m^{p - 2} = - $$\sum_{k=t+1}^{p-1}$$g_k - g_p - $$\sum_{k=p+1}^{p+t-1}$$g_k,

где g_n = (a^{k - t}, a^tb)(k - t)^{p - 2}. По (4) леммы 2, g_{k + p} = g_k и g_t = 0. Поэтому

u₁(a, a^tb) = - $$\sum_{k=1}^{p-1}$$g_k - g_p.

По (1) леммы 2 и формуле бинома:

g_k = $$\sum_{j=0}^{p-2}$$$$\left(\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right.$$$${p-2 \atop j}$$ $$\left.\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right)$$(- t)^jk^{p - 2 - j}((a^k, b) - (a^t, b)),        (k = 1,..., p - 1)

Для сравнения способов конвертирования мат. выражений LaTeX2HTML 98.1:
Построение формулы "текстовое соответствие+образы подвыражений":

g_k = $$\sum_{j=0}^{p-2}$$$$\left(\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right.$$$${p-2 \atop j}$$ $$\left.\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right)$$(- t)^jk^{p - 2 - j}((a^k, b) - (a^t, b)),        (k = 1,..., p - 1)

Построение формулы "образ всего выражения" с no-antialias

$$g_k=\sum_{j=0}^{p-2} \left({ p-2 \atop j}\right) (-t)^j k^{p-2-j} ((a^k,b)-(a^t,b)), \qquad (k=1,\ldots,p-1)$$

Построение формулы "образ всего выражения" с antialias

$$g_k=\sum_{j=0}^{p-2} \left({ p-2 \atop j}\right) (-t)^j k^{p-2-j} ((a^k,b)-(a^t,b)), \qquad (k=1,\ldots,p-1)$$

и

g_p = - (a^t, b)(- t)^{p - 2}

Воспользовавшись (3) и тем, что $\sum_{j=1}^{p-1}$j^r $\equiv$ 0mod p при r $\not\equiv$0modp-1 получим:

u₁(a, a^tb) = - $$\sum\limits_{j=0}^{p-2}$$$$\left(\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right.$$$${p-2 \atop j}$$ $$\left.\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right)$$(- t)^j$$\left(\vphantom{\sum\limits_{k=1}^{p-1} k^{p-2-j} ((a^k,b)-(a^t,b)) }\right.$$$$\sum\limits_{k=1}^{p-1}$$k^{p - 2 - j}((a^k, b) - (a^t, b))$$\left.\vphantom{\sum\limits_{k=1}^{p-1} k^{p-2-j} ((a^k,b)-(a^t,b)) }\right)$$ - g_p =

= - $$\sum\limits_{j=0}^{p-3}$$$$\left(\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right.$$$${p-2 \atop j}$$ $$\left.\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right)$$(- t)^j$$\left(\vphantom{-u_{j+1}(a,b)-(a^t,b)\sum\limits_{k=1}^{p-1} k^{p-2-j} }\right.$$ - u_{j + 1}(a, b) - (a^t, b)$$\sum\limits_{k=1}^{p-1}$$k^{p - 2 - j}$$\left.\vphantom{-u_{j+1}(a,b)-(a^t,b)\sum\limits_{k=1}^{p-1} k^{p-2-j} }\right)$$ -

- (- t)^{p - 2}$$\left(\vphantom{-u_{p-1}(a,b)- \sum\limits_{k=1}^{p-1} (a^t,b)}\right.$$ - u_{p - 1}(a, b) - $$\sum\limits_{k=1}^{p-1}$$(a^t, b)$$\left.\vphantom{-u_{p-1}(a,b)- \sum\limits_{k=1}^{p-1} (a^t,b)}\right)$$ + (- t)^{p - 2}(a^t, b) =

= $$\sum\limits_{j=0}^{p-2}$$$$\left(\vphantom{{p-1 \atop j}}\right.$$$${p-1 \atop j}$$ $$\left.\vphantom{{p-1 \atop j}}\right)$$(- t)^ju_{j + 1}(a, b).

Отсюда легко получить (6) заменив j на i - 1.
(7) Достаточно показать, что u₁(a, b)$\ne$1 Если это не так, то поскольку {a, b} свободный базис, u₁(a, a^tb) = 1, (t = 1,..., p - 1). Отсюда по (6) и лемме 3 u_i(a, b) = 1, (i = 1,..., p - 1) и, по (1) (a, b) = 1. Получили противоречие. Лемма доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Рассуждая от противного, можно считать, что наше многообразие минимальное не p-регулярное, p - его свободная группа с базисом {a, b}, cl (P) = n и $\gamma_{n+1}^{}$(P) ^. (P')^p = 1. По (7) леммы 4 следует, что для получения противоречия достаточно показать, что u_{p - 1}(a, b) = 1. По определению

$$\prod_{j\in J}$$ (1)

где v_j(a, b) простой коммутатор веса n в который a входит 1 + s_j(p - 1) раз, а b входит m_j(p - 1) раз и, поскольку $\gamma_{n+1}^{}$(G) ^. (G')^p = 1, можно считать, что m_j$\le$s_j, то есть ${\frac{n-1}{2(p-1)}}$ = S$\le$s_j. Подставив в тождество (1) x вместо a, zy вместо b и применив стандартные коммутаторные соотношения, получим тождество

$$\prod_{i=0}^{p-2}$$ (2)

где k_i(x, z, y) - произведение коммутаторов веса n, количество вхождений x в которые сравнимо с 1 по модулю p - 1 и не меньше чем 1 + S(p - 1), а количество вхождений z сравнимо с i по модулю p - 1. Подставив в тождество (2) a вместо x, a^t вместо z и b вместо y, получим

$$\prod_{i=0}^{p-2}$$ (3)

или, что тоже самое,

$$\prod_{i=1}^{p-1}$$ (4)

Теперь поделив тождество (4) на тождество (6) леммы 4, получим

1 = $$\prod_{i=1}^{p-1}$$$$\left(\vphantom{k_{i-1}(a,b,a) \left(u_i(a,b)^{\lambda_it^i}\right)^{-1} }\right.$$k_{i - 1}(a, b, a)$$\left(\vphantom{u_i(a,b)^{\lambda_it^i}}\right.$$u_i(a, b)^{$\lambda_{i}$ti}$$\left.\vphantom{u_i(a,b)^{\lambda_it^i}}\right)^{-1}_{}$$ $$\left.\vphantom{k_{i-1}(a,b,a) \left(u_i(a,b)^{\lambda_it^i}\right)^{-1} }\right)^{t^i}_{}$$        (t = 1,..., p - 1)

и, по лемме 3 отсюда следует: k_{p - 2}(a, b, a) ^. u_i(a, b)^{- $\lambda_{i}$} = 1. Так как u_{(p - 1)}(a, b) = u_i(a, b), нам осталось показать, что k_{p - 2}(a, b, a) = 1. Докажем, что k_{p - 2}(a, b, a) состоит только из тех коммутаторов, которые лежат в $\gamma_{n+1}^{}$(G) ^. (G')^p = 1. Действительно, так как количество вхождений a в каждый коммутатор k_{p - 2}(a, b, a) из сравнимо с нулем по модулю p - 1, то количество вхождений b в каждый коммутатор из k_{p - 2}(a, b, a) сравнимо с 1 по модулю p - 1. Заметим, что количество вхождений a больше чем 1 + (S(p - 1)) + (p + 2) и, значит, по условию теоремы, коммутаторы из k_{p - 2}(a, b, a) лежат в $\gamma_{n+1}^{}$(G) ^. (G')^p. Теорема доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о следствия 2. $\Rightarrow$ [7, 8.2.17]. Сначала заметим, что для свободной группы класса p мы можем определить коммутаторные слова u_i(a, b) точно также как это сделано в (*). При этом u₁(a, b) = [a,$\underbrace{b,\ldots ,b}_{p-1}^{}\,$]. Мы можем считать, что $\gamma_{p+1}^{}$(G) ^. (G')^p = 1. В этом случае из p-регулярности G следует, что в G выполняется тождество (x[y, z])^p = x^p. Используя рассуждения из доказательства (3) леммы 4, легко показать, что в группе G выполняется тождество u₁(x, y) = 1, что и требовалось доказать. $\Leftarrow$ Как обычно, будем считать наше многообразие минимальным не p-регулярным. Тогда для применения теоремы 1 достаточно доказать, что

[x,$$\underbrace{y,\ldots ,y}_{p-1}^{}\,$$] $$\in$$ $$\gamma_{p+1}^{}$$(G),        [x,$$\underbrace{y,\ldots ,y}_{2(p-1)}^{}\,$$] $$\in$$ $$\gamma_{2(p-1)+2}^{}$$(G).

Ясно, что оба этих условия выполняются, и p-регулярность G следует из теоремы 1.



Поступила 19.12.97

Литература

1

B.Huppert. Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York, 1976.

2

Avinoam Mann. Regular p-groups II.// Israel J.Math. 1973, vol 14, p. 294-303.

3

Avinoam Mann. Regular p-groups // Israel J.Math. 1971, vol 10, p. 471-477.

4

J.R.J.Groves. Regular p-groups and words giving rise to commutative group operations. // Israel J.Math. 1976, vol. 24, p. 73-77.

5

J.R.J.Groves. On minimal irregular p-groups.// J. Austral. Math. Soc. 1973, vol. 16, No 1, p. 78-89.

6

P.Hall. A contribution to theory of groups of prime power order. // Proc. London Math. Soc. 1933, vol. 36, p. 25-95.

7

B.Huppert, N.Blackburn. Finite Groups II. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York, 1982.

8

В.Магнус, А.Каррас, Д.Солитер. Комбинаторная теория групп. Н.: Москва 1974, 455 С.

9

Paul M. Weichsel. Just irregular p-groups. // Israel J.Math. 1971, vol. 10, p. 359-363.

Footnotes

...ным¹

в [9] и [5] многообразие регулярных и минимальных не регулярных групп определяются несколько иначе