Пример математической HTML-статьи, полученной LaTeX2HTML 98.1.

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН



Том 5 1997



УДК 512.542.3
О p-РЕГУЛЯРНЫХ ГРУППАХ


А. А. Финогенов

Аннотация:

Приводится простое доказательство регулярности конечных p-групп класса нильпотентности меньше p, не использующее собирательный процесс Холла, и обобщаются некоторые результаты Гровза о многообразиях, минимальных среди содержащих не регулярные p-группы.

Регулярные p-группы были введены в рассмотрение Ф.Холлом [6] в 1933 году и активно исследовались многими авторами. Основным результатом, стимулировавшим их изучение, была так называемая собирательная формула Холла. Ее доказательства, несмотря на значительные улучшения ([1], [8]) остаются довольно трудными, так как основаны на применении собирательного процесса. В данной статье приводится простое доказательство собирательной формулы Ф.Холла, не использующее собирательный процесс, и обобщаются некоторые результаты Гровза [5]. Мы будем использовать стандартные обозначения [1]. Кроме того, положим (x, y) = y-px-p(xy)p. Будем называть группу p-регулярной (везде далее p -- простое число, не равное 2), если для любых x, y $ \in$ G

(x, y) $\displaystyle \in$ ($\displaystyle \langle$x, y$\displaystyle \rangle{^\prime}$)p

и p-абелевой, если (x, y)=1. Регулярные p-группы в смысле Ф. Холла -- это в точности конечные p-регулярные p-группы. Интересно, что многие утверждения о конечных регулярных p-группах легко переносятся на p-регулярные нильпотентные группы [4]. Для этого достаточно заменить в доказательствах индукцию по порядку группы на индукцию по классу нильпотентности.
Лемма 1. Если G -- группа с тождеством (x[y, z])p = xp, x, y $ \in$ G, c $ \in$ G' и s -- целое, то
1.
(xc)p = xp;
2.
exp (G') = p, Gp $ \leq$ Z(G); [2]
3.
(xs, ys) = (x, y)s.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
(1) Пусть c можно представить в виде произведения n коммутаторов. Тогда (xc)p = (xd[a, b])p = (xd )p, где d представим уже в виде произведения n - 1 коммутатора, и очевидная индукция показывает, что (xc)p = xp.
(2) Взяв x = 1, из (1) получим exp (G') = p. Из равенства (xp)y = (xy)p = (x[x, y])p = xp следует Gp $ \leq$ Z(G).
(3) С одной стороны (xsys)p = xpsyps(xs, ys), но с другой стороны для некоторого c $ \in$ G' (xsys)p = ((xy)sc)p = (xy)ps = (xpyp(x, y))s = xpsyps(x, y)s. И после приравнивания и сокращений получим требуемое.
Предложение 1. Для нильпотентной группы G следующие утверждения эквивалентны:
1.
G p-регулярна.
2.
Любая 2-порожденная секция (секцией будем называть факторгруппу подгруппы) группы G, удовлетворяющая тождеству (x[y, z])p = xp, p-абелева.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
1 $ \Rightarrow$ 2. Ясно, что любая секция p-регулярной группы сама p-регулярна, а ее p-абелевость следует из (2) леммы 1.
2 $ \Rightarrow$ 1. Воспользуемся индукцией по классу нильпотентности. Пусть a, b $ \in$ G, H = $ \langle$a, b$ \rangle$/($ \langle$a, b$ \rangle{^\prime}$)p; x, y, z $ \in$ H и P = $ \langle$x,[y, z]$ \rangle$. Заметим, что cl (P) < cl (H) $ \leq$ cl (G), а так как любая секция p является также и секцией G, по предположению индукции p p-регулярна, а значит, и p-абелева. Следовательно, (x[y, z])p = xp[y, z]p = xp, и по условию H p-абелева. Отсюда a-pb-p(ab)p $ \in$ ($ \langle$a, b$ \rangle{^\prime}$)p.


Определение 1. Будем называть многообразие минимальным не p-регулярным1, если оно содержит не p-регулярную группу, но все его собственные подмногообразия состоят из p-регулярных групп. Пусть P -- свободная группа нильпотентного минимального не p-регулярного многообразия групп со свободным базисом {a, b} и cl (P) = n. Ясно, что P не p-регулярная и, значит, порождает все многообразие. Из предложения 1 следует, что на p выполнено тождество (x[y, z])p = xp, и по (2) леммы 1 exp(P') = p. Определим коммутаторные слова ui(a, b), (i = 1,..., p - 1) следующим образом: поскольку P/$ \gamma_{n}^{}$(P) p-абелева (так как она лежит в собственном подмногообразии), то (a, b) $ \in$ $ \gamma_{n}^{}$(P), и, значит, на P выполнено

(a, b) = $\displaystyle \prod_{i=1}^{p-1}$ui(a, b),      (*)

где ui(a, b) - такое произведение простых коммутаторов от a, b веса n, что количество вхождений a в коммутаторы из ui(a, b) сравнимо с i по модулю p-1.
Предложение 2. Пусть P -- свободная группа нильпотентного минимального не p-регулярного многообразия со свободным базисом {a, b}, и cl (P) = n. Тогда n = 1 + k(p - 1) и k $ \geq$ 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как {a, b} -- свободный базис и ui(a, b) состоит из коммутаторов веса n, по [1, 3.6.8], для любого целого s

(as, bs) = $\displaystyle \prod_{i=1}^{p-1}$ui(as, bs) = $\displaystyle \prod_{i=1}^{p-1}$ui(a, b)sn = (a, b)sn.

С другой стороны, по (3) леммы 1 (as, bs) = (a, b)s. Заметим, что, так как (a, b)$ \ne$1, по (2) леммы 1 |(a, b)| = p. Итак, s $ \equiv$ snmod p для любого s. Отсюда следует, что n = 1 + k(p - 1). Очевидно, k$ \ne$ 0. $ \square$ Если в многообразии есть не p-регулярная группа, то стандартные рассуждения показывают, что это многообразие содержит минимальное не p-регулярное подмногообразие. А так как по предложению 1 многообразие групп класса p - 1 не может содержать минимального не p-регулярного подмногообразия, мы получаем утверждение, эквивалентное собирательной формуле Ф.Холла:
Следствие 1. (Ф.Холл) Группы класса нильпотентности p - 1 p-регулярны. Нашей следующей целью будет доказательство двух утверждений:
Теорема 1. Пусть в каждой группе G из нильпотентного многообразия для всех целых s и m (0$ \le$s < m) и элементов x, y из G выполнено:

[c1,..., cn] $\displaystyle \in$ $\displaystyle \gamma_{n+1}^{}$(G) . (G')p,

где c1,..., cn $ \in$ {x, y}; n = 1 + (s + m)(p - 1) и в последовательности c1,..., cnx встречается 1 + s(p - 1) раз, а y -- m(p - 1) раз. Тогда любая группа из этого многообразия p-регулярна.
Следствие 2.(Гровз [5])Многообразие групп класса не более 3(p - 1) состоит из p-регулярных групп тогда и только тогда, когда в каждой группе G из этого многообразия для любых x, y $ \in$ G выполнено условие:

[x,$\displaystyle \underbrace{y,\ldots ,y}_{p-1}^{}\,$] $\displaystyle \in$ $\displaystyle \gamma_{p+1}^{}$(G) . (G')p.

Нам потребуется


Лемма 2. Пусть G -- группа с тождеством (x[y, z])p = xp. Тогда для любых элементов x, y, z $ \in$ G и целых чисел s и t выполнено:

1.
(x, y) = (y, x);
2.
(x, y)(xy, z) = (y, z)(x, yz);
3.
(xs - t, xty) = (xt, y)-1(xs, y);
4.
(xs + p, y)t + p = (xs, y)t.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
(1) (x, y) = y-px-p(xy)p = x-py-p(yx[x, y])p = x-py-p(xy)p = (y, x).
(2) С одной стороны (xyz)p = (xy)pzp(xy, z) = xpyp(x, y)zp(xy, z). С другой -- (xyz)p = xp(yz)p(x, yz) = xpypzp(y, z)(x, yz) и после приравнивания и сокращений получим (2).
(3) Следует из (2), если подставить xs - t вместо x, xt вместо y и y вместо z.
(4) Следует из (2) леммы 1, так как (x, y) $ \in$ G' и (xz, y) = (x, y), если z $ \in$ Z(G).


Лемма 3. Если a1,..., ap - 1 и b1,..., bp - 1 -- элементы аддитивной элементарной абелевой p-группы и

aj = $\displaystyle \sum_{i=1}^{p-1}$bi . ji,        (j = 1,..., p - 1),

то

bi = - $\displaystyle \sum_{j=1}^{p-1}$aj . jp - 1 - i,        (i = 1,..., p - 1).


Д о к а з а т е л ь с т в о.
Условие леммы можно записать в виде A = B . M, где A = (a1,..., ap - 1) и B = (b1,..., bp - 1) - "векторы", а

M = $\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{cccc}
1^1 & 2^1 & \ldots & (p-...
... & \vdots\\
1^{p-1} & 2^{p-1} & \ldots & (p-1)^{p-1}
\end{array}
}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cccc}
1^1 & 2^1 & \ldots & (p-1)^1\\
1^2 & 2^2...
...s & \ddots & \vdots\\
1^{p-1} & 2^{p-1} & \ldots & (p-1)^{p-1}
\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{cccc}
1^1 & 2^1 & \ldots & (p-...
... & \vdots\\
1^{p-1} & 2^{p-1} & \ldots & (p-1)^{p-1}
\end{array}
}\right)$

- матрица с элементами из Z/pZ. Пусть

N = - $\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{cccc}
1^{p-2} & 1^{p-3} & \ldo...
...vdots\\
(p-1)^{p-2} & (p-1)^{p-3} & \ldots & (p-1)^0
\end{array}
}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cccc}
1^{p-2} & 1^{p-3} & \ldots & 1^0\\
2^{p-...
...\ddots & \vdots\\
(p-1)^{p-2} & (p-1)^{p-3} & \ldots & (p-1)^0
\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{cccc}
1^{p-2} & 1^{p-3} & \ldo...
...vdots\\
(p-1)^{p-2} & (p-1)^{p-3} & \ldots & (p-1)^0
\end{array}
}\right)$

Воспользовавшись тем, что

$\displaystyle \sum_{i=1}^{p-1}$ip - 1 $\displaystyle \equiv$ - 1modp,        $\displaystyle \sum_{i=1}^{p-1}$ir $\displaystyle \equiv$ 0mod p

при r $ \not\equiv$0modp-1 [1, 3.9.6], легко проверить, что M . N - единичная матрица и, значит, B = A . N. Что и требовалось доказать.


Лемма 4. Пусть P -- свободная группа нильпотентного минимального не p-регулярного многообразия со свободным базисом {a, b}, и cl (P) = n. Тогда

1.
(at, b) = $ \prod\limits_{i=1}^{p-1}$ui(a, b)ti,        (t = 1,..., p - 1);
2.
(b, at) = $ \prod\limits_{i=1}^{p-1}$up - i(b, a)ti,        (t = 1,..., p - 1);
3.
ui(a, b) = $ \prod\limits_{t=1}^{p-1}$(at, b)-t(p - 1 - i),        (i = 1,..., p - 1);
4.
up - i(b, a) = $ \prod\limits_{t=1}^{p-1}$(b, at)-t(p - 1 - i),        (i = 1,..., p - 1);
5.
u1(a, b) = up - 1(b, a);
6.
u1(a, atb)t = $ \prod\limits_{i=1}^{p-1}$ui(a, b)$\scriptstyle \lambda_{i}$ti, где $ \lambda_{i}^{}$ = (- 1)i - 1$ \left(\vphantom{{p-2 \atop i-1}}\right.$$ {p-2 \atop i-1}$ $ \left.\vphantom{{p-2 \atop i-1}}\right)$,     (i = 1,..., p - 1),     (t = 1,..., p - 1).
7.
u1(a, b)$ \ne$1, up - 1(b, a)$ \ne$1.

Д о к а з а т е л ь с т в о.
(1) Следует из определения ui(a, b) и (2) леммы 1.
(2) Так как n $ \equiv$ 1modp-1 то, как легко проверить, количество вхождений a в коммутаторы из up - i(b, a) сравнимо с i по модулю p - 1. Так как $ \gamma_{n}^{}$(P) элементарная абелева, (3) и (4) следуют, по лемме 3 из (1) и (2), соответственно.
(5) следует из (3) и (4) так как по (1) леммы 2 (a, b) = (b, a).
(6) В доказательстве этого пункта будем использовать для элементов из $ \gamma_{n}^{}$(P) аддитивную запись. Итак, по (4):

u1(a, atb) = - $\displaystyle \sum_{m=1}^{p-1}$(am, atb)mp - 2 = - $\displaystyle \sum_{k=t+1}^{p-1}$gk - gp - $\displaystyle \sum_{k=p+1}^{p+t-1}$gk,

где gn = (ak - t, atb)(k - t)p - 2. По (4) леммы 2, gk + p = gk и gt = 0. Поэтому

u1(a, atb) = - $\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}$gk - gp.

По (1) леммы 2 и формуле бинома:

gk = $\displaystyle \sum_{j=0}^{p-2}$$\displaystyle \left(\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right.$$\displaystyle {p-2 \atop j}$ $\displaystyle \left.\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right)$(- t)jkp - 2 - j((ak, b) - (at, b)),        (k = 1,..., p - 1)

Для сравнения способов конвертирования мат. выражений LaTeX2HTML 98.1:
Построение формулы "текстовое соответствие+образы подвыражений":

gk = $\displaystyle \sum_{j=0}^{p-2}$$\displaystyle \left(\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right.$$\displaystyle {p-2 \atop j}$ $\displaystyle \left.\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right)$(- t)jkp - 2 - j((ak, b) - (at, b)),        (k = 1,..., p - 1)

Построение формулы "образ всего выражения" с no-antialias
$\displaystyle g_k=\sum_{j=0}^{p-2} \left({ p-2 \atop j}\right) (-t)^j k^{p-2-j}
((a^k,b)-(a^t,b)), \qquad (k=1,\ldots,p-1)$      

Построение формулы "образ всего выражения" с antialias
$\displaystyle g_k=\sum_{j=0}^{p-2} \left({ p-2 \atop j}\right) (-t)^j k^{p-2-j}
((a^k,b)-(a^t,b)), \qquad (k=1,\ldots,p-1)$      

и

gp = - (at, b)(- t)p - 2

Воспользовавшись (3) и тем, что $ \sum_{j=1}^{p-1}$jr $ \equiv$ 0mod p при r $ \not\equiv$0modp-1 получим:

u1(a, atb) = - $\displaystyle \sum\limits_{j=0}^{p-2}$$\displaystyle \left(\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right.$$\displaystyle {p-2 \atop j}$ $\displaystyle \left.\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right)$(- t)j$\displaystyle \left(\vphantom{\sum\limits_{k=1}^{p-1} k^{p-2-j} ((a^k,b)-(a^t,b)) }\right.$$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{p-1}$kp - 2 - j((ak, b) - (at, b))$\displaystyle \left.\vphantom{\sum\limits_{k=1}^{p-1} k^{p-2-j} ((a^k,b)-(a^t,b)) }\right)$ - gp =
= - $\displaystyle \sum\limits_{j=0}^{p-3}$$\displaystyle \left(\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right.$$\displaystyle {p-2 \atop j}$ $\displaystyle \left.\vphantom{{ p-2 \atop j}}\right)$(- t)j$\displaystyle \left(\vphantom{-u_{j+1}(a,b)-(a^t,b)\sum\limits_{k=1}^{p-1} k^{p-2-j}
}\right.$ - uj + 1(a, b) - (at, b)$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{p-1}$kp - 2 - j$\displaystyle \left.\vphantom{-u_{j+1}(a,b)-(a^t,b)\sum\limits_{k=1}^{p-1} k^{p-2-j}
}\right)$ -
- (- t)p - 2$\displaystyle \left(\vphantom{-u_{p-1}(a,b)- \sum\limits_{k=1}^{p-1} (a^t,b)}\right.$ - up - 1(a, b) - $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{p-1}$(at, b)$\displaystyle \left.\vphantom{-u_{p-1}(a,b)- \sum\limits_{k=1}^{p-1} (a^t,b)}\right)$ + (- t)p - 2(at, b) =
= $\displaystyle \sum\limits_{j=0}^{p-2}$$\displaystyle \left(\vphantom{{p-1 \atop j}}\right.$$\displaystyle {p-1 \atop j}$ $\displaystyle \left.\vphantom{{p-1 \atop j}}\right)$(- t)juj + 1(a, b).

Отсюда легко получить (6) заменив j на i - 1.
(7) Достаточно показать, что u1(a, b)$ \ne$1 Если это не так, то поскольку {a, b} свободный базис, u1(a, atb) = 1, (t = 1,..., p - 1). Отсюда по (6) и лемме 3 ui(a, b) = 1, (i = 1,..., p - 1) и, по (1) (a, b) = 1. Получили противоречие. Лемма доказана.


Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Рассуждая от противного, можно считать, что наше многообразие минимальное не p-регулярное, p - его свободная группа с базисом {a, b}, cl (P) = n и $ \gamma_{n+1}^{}$(P) . (P')p = 1. По (7) леммы 4 следует, что для получения противоречия достаточно показать, что up - 1(a, b) = 1. По определению

u1(a, b) = $\displaystyle \prod_{j\in J}$vj(a, b) (1)

где vj(a, b) простой коммутатор веса n в который a входит 1 + sj(p - 1) раз, а b входит mj(p - 1) раз и, поскольку $ \gamma_{n+1}^{}$(G) . (G')p = 1, можно считать, что mj$ \le$sj, то есть $ {\frac{n-1}{2(p-1)}}$ = S$ \le$sj. Подставив в тождество (1) x вместо a, zy вместо b и применив стандартные коммутаторные соотношения, получим тождество

u1(x, zy) = $\displaystyle \prod_{i=0}^{p-2}$ki(x, y, z), (2)

где ki(x, z, y) - произведение коммутаторов веса n, количество вхождений x в которые сравнимо с 1 по модулю p - 1 и не меньше чем 1 + S(p - 1), а количество вхождений z сравнимо с i по модулю p - 1. Подставив в тождество (2) a вместо x, at вместо z и b вместо y, получим

u1(a, atb) = $\displaystyle \prod_{i=0}^{p-2}$ki(a, b, a)ti        (t = 1,..., p - 1). (3)

или, что тоже самое,

u1(a, atb)t = $\displaystyle \prod_{i=1}^{p-1}$k(i - 1)(a, b, a)ti        (t = 1,..., p - 1). (4)

Теперь поделив тождество (4) на тождество (6) леммы 4, получим

1 = $\displaystyle \prod_{i=1}^{p-1}$$\displaystyle \left(\vphantom{k_{i-1}(a,b,a)
\left(u_i(a,b)^{\lambda_it^i}\right)^{-1}
}\right.$ki - 1(a, b, a)$\displaystyle \left(\vphantom{u_i(a,b)^{\lambda_it^i}}\right.$ui(a, b)$\scriptstyle \lambda_{i}$ti$\displaystyle \left.\vphantom{u_i(a,b)^{\lambda_it^i}}\right)^{-1}_{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{k_{i-1}(a,b,a)
\left(u_i(a,b)^{\lambda_it^i}\right)^{-1}
}\right)^{t^i}_{}$        (t = 1,..., p - 1)

и, по лемме 3 отсюда следует: kp - 2(a, b, a) . ui(a, b)- $\scriptstyle \lambda_{i}$ = 1. Так как u(p - 1)(a, b) = ui(a, b), нам осталось показать, что kp - 2(a, b, a) = 1. Докажем, что kp - 2(a, b, a) состоит только из тех коммутаторов, которые лежат в $ \gamma_{n+1}^{}$(G) . (G')p = 1. Действительно, так как количество вхождений a в каждый коммутатор kp - 2(a, b, a) из сравнимо с нулем по модулю p - 1, то количество вхождений b в каждый коммутатор из kp - 2(a, b, a) сравнимо с 1 по модулю p - 1. Заметим, что количество вхождений a больше чем 1 + (S(p - 1)) + (p + 2) и, значит, по условию теоремы, коммутаторы из kp - 2(a, b, a) лежат в $ \gamma_{n+1}^{}$(G) . (G')p. Теорема доказана.


Д о к а з а т е л ь с т в о следствия 2. $ \Rightarrow$ [7, 8.2.17]. Сначала заметим, что для свободной группы класса p мы можем определить коммутаторные слова ui(a, b) точно также как это сделано в (*). При этом u1(a, b) = [a,$ \underbrace{b,\ldots ,b}_{p-1}^{}\,$]. Мы можем считать, что $ \gamma_{p+1}^{}$(G) . (G')p = 1. В этом случае из p-регулярности G следует, что в G выполняется тождество (x[y, z])p = xp. Используя рассуждения из доказательства (3) леммы 4, легко показать, что в группе G выполняется тождество u1(x, y) = 1, что и требовалось доказать. $ \Leftarrow$ Как обычно, будем считать наше многообразие минимальным не p-регулярным. Тогда для применения теоремы 1 достаточно доказать, что

[x,$\displaystyle \underbrace{y,\ldots ,y}_{p-1}^{}\,$] $\displaystyle \in$ $\displaystyle \gamma_{p+1}^{}$(G),        [x,$\displaystyle \underbrace{y,\ldots
,y}_{2(p-1)}^{}\,$] $\displaystyle \in$ $\displaystyle \gamma_{2(p-1)+2}^{}$(G).

Ясно, что оба этих условия выполняются, и p-регулярность G следует из теоремы 1.



Поступила 19.12.97

Литература

1
B.Huppert. Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York, 1976.

2
Avinoam Mann. Regular p-groups II.// Israel J.Math. 1973, vol 14, p. 294-303.

3
Avinoam Mann. Regular p-groups // Israel J.Math. 1971, vol 10, p. 471-477.

4
J.R.J.Groves. Regular p-groups and words giving rise to commutative group operations. // Israel J.Math. 1976, vol. 24, p. 73-77.

5
J.R.J.Groves. On minimal irregular p-groups.// J. Austral. Math. Soc. 1973, vol. 16, No 1, p. 78-89.

6
P.Hall. A contribution to theory of groups of prime power order. // Proc. London Math. Soc. 1933, vol. 36, p. 25-95.

7
B.Huppert, N.Blackburn. Finite Groups II. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York, 1982.

8
В.Магнус, А.Каррас, Д.Солитер. Комбинаторная теория групп. Н.: Москва 1974, 455 С.

9
Paul M. Weichsel. Just irregular p-groups. // Israel J.Math. 1971, vol. 10, p. 359-363.


Footnotes

...ным1
в [9] и [5] многообразие регулярных и минимальных не регулярных групп определяются несколько иначе


ИММ УрО РАН http://www.imm.uran.ru