5 Аналогия с натуральным рядом

Следует отметить, что аналогичные конструкции можно построить на семействе $\mathfrak$N всех подмножеств натурального ряда $\cal {N}$. Именно, рассмотрим полуалгебру $\cal {Z}$ подмножеств $\cal {N}$, состоящую из конечных и бесконечных промежутков $\cal {N}$. Тогда функцию $\delta_{\infty}^{}$, значения которой равны 0 на конечных и 1 на бесконечных промежутках, можно, в некотором "аппроксимативном смысле", трактовать как "равномерное" распределение на $\cal {N}$. Функция $\delta_{\infty}^{}$ является чисто к.-а. мерой на $\cal {Z}$ и, аналогично случаю отрезка $\bf I$, можно указать чисто к.-а. меру определенную на $\mathfrak$N и являющуюся продолжением $\delta_{\infty}^{}$. При этом

$$\mathfrak$$B$$\;\stackrel{\triangle}{=}\;$${$$\mu$$ $$\in$$ (add )₊[$$\mathfrak$$N] | ($$\mu$$ | $$\cal {Z}$$) = $$\delta_{\infty}^{}$$} =

= {$$\mu$$ $$\in$$ $$\bf A$$($$\mathfrak$$N) | (v_$\mu$($$\cal {N}$$) = 1)&($$\mu$$ | $$\cal {Z}$$) = $$\delta_{\infty}^{}$$} =

$\bf P_{p}^{}$($\mathfrak$N)[множество всех чисто к.-а. вероятностей на $\mathfrak$N]= {$\mu$ $\in$ $\bf A$($\mathfrak$N) | $\forall$f $\in$ $\bf B$($\cal {N}$) : $\lim\limits_{\overline{k \to \infty}}^{}$f (k)$\le$$\int\limits_{\cal N}^{}$f d$\mu$$\le$$\overline{\lim\limits_{k \to \infty}}$f (k)} $\leftrightarrow$ {f^* $\in$ $\bf B^{*}_{}$($\cal {N}$) | $\forall$f $\in$ $\bf B$($\cal {N}$) :
$\lim\limits_{\overline{k \to \infty}}^{}$f (k)$\le$f^*(f )$\le$$\overline{\lim\limits_{k \to \infty}}$f (k)}.
Если $\rho$ -- произвольная биекция $\cal {N}$ на Q, то любой мере $\omega$ $\in$ $\Omega$ соответствует мера $\xi$ $\in$ $\mathfrak$B, такая, что $\forall$S $\in$ $\mathfrak$N: $\xi$(S) = $\omega$($\rho^{1}_{}$(S)). Таким образом, $\Omega$ допускает вложение в $\mathfrak$B. Если $\mu^{*}_{}$ $\in$ $\mathfrak$B и x^* $\in$ $\bf B^{*}_{}$($\cal {N}$), причем $\mu^{*}_{}$ $\leftrightarrow$ x^*, то при f = (f_n)_{n $\in$ $\cal {N}$} $\in$ $\bf B$($\cal {N}$) возможна ситуация

x^*(f )$$\ne$$x^*((f_{n + 1})_{n $\in$ $\cal {N}$}).