Том 6 N 2 2000
УДК 519.86:336
Традиционные постановки задач управления, мотивированных проблемами финансового менеджмента [1]-[7], базируются на теоретико-вероятностном подходе и использовании аппарата стохастического исчисления. В работе рассматривается одна из задач указанного круга, относящаяся к проблеме динамической реструктуризации инвестиционного портфеля. Формализованная постановка и решение основано на сочетании методов теории гарантированного управления и оценивания [8]-[17] с традиционным вероятностным подходом [18]-[21].
В работе рассматривается одна из задач финансовой математики, связанная с обеспечением эффективности инвестиционного портфеля на заданном временном промежутке. Традиционные постановки и решения задач этого круга базируются на использовании аппарата стохастических дифференциальных уравнений и теории управления стохастическими процессами. Подход, обсуждаемый в настоящей работе, основан на сочетании теоретико-вероятностных методов с применением теории гарантированного управления и оценивания [8]-[17].
Статическая, однопериодная модель оптимизации инвестиционного
портфеля по критериям риск - доходность была предложена Г.Марковицем
[2] и послужила основой большого количества работ. В
частности, на базе результатов Г.Марковица и Дж.Тобина [3]
была построена широко известная модель ценообразования на рынке
капитала - Capital Asset Pricing Model (САРМ), породившая, в
свою очередь, цикл исследований, связанных с тестированием и
различными обобщениями названной модели. Одним из направлений
развития теории были результаты, относящиеся к динамической
оптимизации, предполагающей изменения статистических параметров модели во
времени. Среди работ, где были исследованы многошаговые дискретные
модели, отметим статью [4]. Модели с непрерывным временем,
более удобные для построения явных решений, были, по-видимому,
впервые введены и исследованы Р.Мертоном [6], хотя
описание динамики рисковых активов с помощью стохастических дифференциальных
уравнений восходит к работе Л.Башелье [1].
В рамках настоящей статьи невозможно представить сколько-нибудь полный обзор даже тех работ по финансовой математике, которые относятся к проблеме эффективного управления портфельными инвестициями. Среди обзорных статей и монографий, где так или иначе затрагиваются указанные вопросы, отметим [18]-[21].
Изложение материала в данной работе организовано следующим образом. Первый раздел работы носит, в основном, вводный характер. В нем приводятся постановка и решение статической задачи о структуре недоминируемых портфелей и некоторые результаты, связанные с переходом к динамической модели. Элементы новизны представляют результаты, относящиеся к задаче квантильной оптимизации. Во втором разделе приводится собственно постановка задачи гарантированного управления, предлагаемая в качестве модели процедуры динамической реструктуризации инвестиционного портфеля. Получено ее решение, основанное на подходах и методах, развитых в [8]-[13]. Третий раздел работы посвящен вопросам коррекции эффективных управлений при уточнении статистических параметров распределений доходностей и построению оценок параметров модели, необходимых для реализации процедур управления. Здесь же обсуждаются результаты численных экспериментов, осуществленных на основе реальных данных о ценовой динамике фондового рынка.
Отметим, что одним из моментов, мотивирующих применение гарантированного подхода к задачам, традиционно исследуемым методами стохастического анализа, является недостаточная статистика и значительная волатильность финансовых индексов, характерные для развивающихся рынков. Иной круг задач финансовой математики, где на наш взгляд уместно применение техники гарантированного управления, связан с проблематикой расчета цены опционных контрактов. Обсуждение этого класса задач выходит за рамки настоящей работы, мотивация и некоторые результаты, относящиеся к данной проблеме, изложены в заметке [14].