ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН
Contents

Том 6     N1 2000



УДК 517.9

НEКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМОГО УРАВНЕНИЯ ВАН ДЕР ПОЛЯ¹


М. С. Никольский, Мусса Абубакар

    Рассматривается известное уравнение Ван дер Поля при наличии управляющих воздействий. Получены оценки множеств достижимости этого управляемого объекта в фазовом пространстве сверху и снизу (т.е. извне и изнутри). При этом использован аппарат функций Ляпунова и одна теорема о накрытии нелинейным отображением.

В теории колебаний весьма большое значение придается изучению
свойств решений широко известного уравнения Ван дер Поля (см., например, [1]-[3]). Мы рассмотрим это уравнение при наличии воздействий (которые мы интерпретируем как управления) в следующем виде:

$$\ddot{x} + k (x^2 - 1)\dot{x} + x = u,$$ (1)

где константа $k >0$, а скалярное управление $u$ удовлетворяет ограничению $u \in U$, $U = [p,q]$, причем $p <q$ и $0 \in [p, q]$.

Будем считать, что начальные условия для уравнения (1) имеют простейший вид

$$x(0) = x_0 = 0, \quad \dot{x}(0) =\dot{x}_0 = 0.$$ (2)

Управления $u = u(t)$, $t \in [0,T]$, $T>0$, будем рассматривать в классе измеримых по Лебегу функций, как это обычно делается в математической теории управления (см., например, [4], [5]). Полагая $x_1 = x$, $x_2 = \dot{x}$, перепишем уравнение (1) в виде системы уравнений

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = - x_1 - k(x_{1}^{2} - 1)x_2 + u \end{array}\right.$$ (3)

с начальными условиями

$$x_1(0)= x_2(0) = 0.$$ (4)

Решения $x(t, {u(\cdot)})$ системы (3), (4) рассматриваются в классе абсолютно непрерывных функций (см. [4], [5]). Нас будет интересовать множество достижимости ${\cal D}(T)$ (см. [5]) системы (3), (4). Напомним, что

$${\cal D}(T) = \bigcup\limits_{{u(\cdot)}} x(T, {u(\cdot)}),$$ (5)

где объединение берется по всевозможным измеримым управлениям $u(t) \in U$, $t \in [0,T]$. Так как $0 \in U$, то ${\cal D}(T) \not= \varnothing$ и $0 \in {\cal D}(T)$.

Перейдем к оценке сверху множества ${\cal D}(T)$. Для этого удобно рассмотреть новую управляемую систему (сравните с (3), (4))

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \dot{y}_1 = y_2 - k\l... ..., \\ [2ex] \displaystyle \dot{y}_2 = - y_1, \end{array}\right.$$ (6)

$$y_1(0)= y_2(0) = 0.$$ (7)

Подобный переход в связи с задачами устойчивости делался, например, в [3]. Отметим, что компонента $\widetilde{y}_1(t, {u(\cdot)})$ решения задачи Коши (6), (7), отвечающая произвольному измеримому управлению $u(t) \in U$,
$t \geqslant 0$, удовлетворяет уравнению (1), а векторная функция

$$\widetilde{y}(t, {u(\cdot)}) = \left(\begin{array}{c} {\wide... ...{d\over dt}\widetilde{y}_1(t, {u(\cdot)})} \end{array}\right)$$ (8)

является решением задачи Коши вида (3), (4). В силу этого полезно получить оценки функций $\vert\widetilde{y}_1 (t, {u(\cdot)})\vert$, $\vert\frac{d}{dt} \widetilde{y}_1 (t, {u(\cdot)})\vert$ при $t \in [0,T]$. Для получения оценки функции $\vert\widetilde{y}_1 (t, {u(\cdot)})\vert$ воспользуемся простейшей функцией Ляпунова

$$V(y) = \frac{1}{2} (y_{1}^{2} + y_{2}^{2}).$$ (9)

Для производной функции $V(y)$ вдоль траекторий системы (6) при данном измеримом управлении $u(t) \in U$, $t \geqslant 0$ получаем из элементарных соображений априорные неравенства

$$\dot{V}(t) \leqslant k\, y_{1}^{2}(t) + \vert y_1(t)\vert \,... ...{1}^{2}(t) + \frac{t^2}{2} \Vert{u(\cdot)}\Vert^{2} \leqslant$$

$$\leqslant \left(\,2k + 1\,\right) V(t) + \frac{t^2}{2} \Vert{u(\cdot)}\Vert^2,$$ (10)

где

$$y_1(t) = \widetilde{y}_1(t, {u(\cdot)}), \ \ V(t) = V(\widetilde{y}(t, {u(\cdot)})).$$ (11)

При выводе неравенства (10) мы использовали следующие неравенства:

$$\begin{array}{c} \alpha\beta \leqslant \frac{1}{2} \, \left(... ..., ds \leqslant t \Vert{u(\cdot)}\Vert \leqslant tm, \end{array}$$ (12)

где $u(s) \in U$ - произвольная измеримая функция на $[0,T]$, $t \in [0,T]$,

$$\Vert{u(\cdot)}\Vert = \mathop{\rm Vrai\,sup}\limits_{t \in [0,T]} \vert u(t)\vert,$$ (13)

т.е. мы используем норму пространства $L_{\infty}[0,T]$ (см. [6]), $m = \max \{\vert p\vert, \vert q\vert\}$. Отметим, что из ограниченности измеримой функции $u(t) \in U$, $t \geqslant 0$, априорных неравенств (10) и формулы (9) вытекает (см., например, [3]), что решение $\widetilde{y}(t, {u(\cdot)})$ задачи (6), (7) продолжимо на всю полуось $[0, + \infty)$ для каждого измеримого управления $u(t) \in U$, $t \geqslant 0$. Имеет место также единственность решения $\widetilde{y}(t, {u(\cdot)})$ при $t \geqslant 0$.

Из соотношений (9)-(13) с помощью аппарата дифференциальных неравенств (см., например, [7]) получаем следующие неравенства при $t \in [0,T]$ для произвольной измеримой функции $u(t) \in U$:

$$\vert\widetilde{y}_i(t,{u(\cdot)})\vert^2 \leqslant \alpha \Vert{u(\cdot)}\Vert^2 \leqslant \alpha \, m^2, \quad i =1,2,$$ (14)

где

$$\alpha = \frac{T^2}{2k+1} \left(\, e^{(2k + 1)T} - 1\,\right).$$ (15)

Теперь займемся оценкой функции $\frac{d}{dt} \widetilde{y}_1(t, {u(\cdot)})$ при произвольной измеримой функции $u(t) \in U$, $t \in [0,T]$. Обозначим $\vphantom{A^A}$

$$f(z) = z \left(\,1 + k + \frac{k}{3} z^2\,\right),$$ (16)

где $z \geqslant 0$. Из (6), (14), (16) при $t \in [0,T]$ получаем неравенства

$$\left\vert\,\frac{d}{dt}\widetilde{y}_1(t, {u(\cdot)})\,\rig... ...rt) + T \Vert{u(\cdot)}\Vert \leqslant f(\alpha^{1/2} m) + Tm.$$ (17)

Так как функция (8) является решением задачи Коши (3), (4), то из сказанного при $t \in [0,T]$ и произвольной измеримой функции $u(t) \in U$, получаем следующие неравенства (см. (14)-(17)):

$$\vert x_1(t, {u(\cdot)})\vert \leqslant \alpha^{1/2}\, \Vert{u(\cdot)}\Vert \leqslant \alpha^{1/2}\, m,$$ (18)

$$\vert x_2(t, {u(\cdot)})\vert \leqslant f(\alpha^{1/2}\, \Ve... ... T \Vert{u(\cdot)}\Vert \leqslant f(\alpha^{1/2}\, m) + T\,m.$$ (19)

Отметим, что из (16), (19) вытекает следующее неравенство при $t \in [0,T]$:

$$\vert x_2(t, {u(\cdot)})\vert \leqslant \beta\, \Vert{u(\cdot)}\Vert,$$ (20)

где

$$\beta = \alpha^{1/2} \left(\,1 + k + \frac{k}{3}\, \alpha\, m^2\,\right) + T.$$ (21)

Далее переходим к оценке множества достижимости ${\cal D}(T)$ изнутри. Условимся через ${\rm int\/\ } X$ обозначать внутренность множества $X \subset \mathbb{R}^2$. Мы будем искать некоторый эффективно вычислимый выпуклый компакт $V$, для которого выполняется включение

$$0 \in {\rm int\/\ } V \subset {\cal D}(T).$$ (22)

Для получения таких оценок можно применить следующую теорему о накрытии (см. [8]).

Пусть нелинейное непрерывное отображение $F$ отображает ограниченное выпуклое множество $\Omega$ из действительного банахова пространства $W$ в $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb{R}^n$. Пусть далее $0 \in \Omega$, $F(0) = 0$ и при $\omega \in \Omega$

$$F(\omega) = G \omega + {\cal R}(\omega),$$ (23)

где $G$ - линейный ограниченный оператор, действующий из $W$ в $\mathbb{R}^n$,

$$\vert{\cal R}(\omega)\vert = o(\Vert\omega\Vert)$$ (24)

при $\omega \to 0$, $\omega \in \Omega$ ($\Vert\omega\Vert$ означает длину вектора $\omega \in W$, $\vert{\cal R}(\omega)\vert$ - длину вектора ${\cal R}(\omega)$ из $\mathbb{R}^n$).

Теорема 1   (см. $\cite{nk8})$. Пусть помимо сделанных предположений относительно $F, \ \Omega, \ W, \ G, \ R$ выполняется включение $0 \in {\rm int\/\ } H$, где $H = \overline{G\Omega}$. Тогда

$$0 \in \frac{\varepsilon _0}{2} H \subset F(\Omega),$$

где величина $\varepsilon _0 \in (0,1)$ находится из условия $g(\varepsilon _0) < \varepsilon _0\rho/2$ при $g(\varepsilon ) = \sup\limits_{\omega \in \Omega}\vert{\cal R}(\varepsilon \omega)\vert$, $\rho$ - радиус максимального вписанного в $H$ шара с центром в точке $0$.

З а м е ч а н и е. Отметим, что в условиях теоремы не обязательно $0 \in {\rm int\/\ } \Omega$. По поводу других теорем о накрытии смотрите например,
[8] и [9].

Возьмем $W = L_{\infty}([0, T])$ (см. теорему). Пусть $\gamma >0$ столь велико, что $U \subset (- \gamma, \gamma)$. Аналогично вышесказанному можно показать, что на открытом шаре $\Lambda \subset L_{\infty}([0, \infty])$ с центром в $0$ и радиуса $\gamma$ определен нелинейный оператор

$$\Phi({u(\cdot)}) = x (T, {u(\cdot)}).$$

Используя гладкость правой части системы (3), можно обосновать
непрерывность и дифференцируемость по Фреше (см. [6]) оператора $\Phi$ на $\Lambda$. В частности, оператор $\Phi$ дифференцируем по Фреше при $u(t) \equiv 0$, $t \in [0,T]$ и, как можно показать, при ${u(\cdot)}\in \Lambda$ справедливо разложение

$$\Phi({u(\cdot)}) = \int\limits^{T}_{0} e^{(T-s)A}\, Bu(s) \, ds + {\cal R}_1({u(\cdot)}),$$ (25)

где

$$A = \left(\begin{array}{cc} {0}, & {1} \\ [2ex] {-1}, & {k} ... ...= \left(\begin{array}{c} {0} \\ [1ex] {1} \end{array}\right),$$ (26)

$$\vert{\cal R}_1({u(\cdot)})\vert = o(\Vert{u(\cdot)}\Vert).$$

В качестве выпуклого множества $\Omega$ (см. теорему) мы возьмем множество функций ${u(\cdot)}\in L_{\infty}([0, \infty])$ таких, что почти всюду на $[0,T]$ $u(t) \in U$. Отметим, что $0 \in \Omega$, $\Omega \subset \Lambda$.

Рассмотрим теперь линейный ограниченный оператор ${\cal N}$, действующий из $L_{\infty}([0, \infty])$ в $\mathbb{R}^2$ по формуле (см. (25), (26))

$${\cal N}{u(\cdot)}= \int\limits^{T}_{0} e^{(T-s)A}\, Bu(s)\, ds.$$ (27)

Для изучения множества ${\cal N}\Omega$ полезно ввести многозначное отображение

$$L(s) = e^{s\,A}\, B U$$ (28)

при $s \in [0,T]$ и рассмотреть от него интеграл (см. [6], [10])

$$M= \int\limits^{T}_{0} L(s)\, ds.$$ (29)

С помощью [6], [10] можно обосновать, что $M$ - выпуклый компакт и что

$${\cal N}\Omega = M, \quad \ 0 \in M.$$ (30)

Множество $M$ (см. (29)) является множеством достижимости ${\cal D}_1(T)$ в момент $T$ (см. [5]) линеаризованного объекта (1):

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1 = x_2 \\ [2ex] \dot{x}_2 = k x_2 - x_{1} + u \end{array}\right.$$ (31)

$$x_1(0) = x_2(0)= 0, \ \ u \in U.$$

Теперь оценим член ${\cal R}_1({u(\cdot)})$ в формуле (25). С помощью формулы Коши можно записать (см. (3), (7))

$${\cal R}_1({u(\cdot)}) = \int\limits^{T}_{0} e^{(T-s)A}\, h(x(s, {u(\cdot)}))\, ds,$$ (32)

где

$$h(x) = \left(\begin{array}{c} {0} \\ [1ex] {-kx_{1}^{2}x_2} \end{array}\right),$$ (33)

причем $\vert h(x)\vert = O(\vert x\vert^3)$ при $x \to 0$. Итак,

$${\cal R}_1({u(\cdot)}) = \int\limits^{T}_{0} e^{(T-s)A} \lef... ... {0} \\ [1ex] {-kx_{1}^{2}(s)x_2(s)} \end{array}\right)\, ds.$$ (34)

Из соотношений (18), (19), (33) вытекает, что

$$\mathop{\rm Vrai\,sup}\limits_{s \in [0,T]} \vert h(x(s, u(s)))\vert = o (\Vert{u(\cdot)}\Vert),$$ (35)

при $\Vert{u(\cdot)}\Vert \to 0$. Полагая $W = L_{\infty}([0, T])$, $\omega = {u(\cdot)}$, $F = \Phi$ (см. (25)), $G = {\cal N}$ (см. (27)), $H = M$, ${\cal R}({u(\cdot)}) = {\cal R}_1({u(\cdot)})$ (см. (25), (34)), мы приходим в силу (35) к соотношениям (23) и (24).

Для получения оценки ${\cal R}_1({u(\cdot)})$ нам понадобится еще выражение для $e^{At}$ в явном виде. Рассмотрим сначала случай, когда $0< k< 2$. Тогда

$$e^{At} = \displaystyle\frac{e^{\frac{k}{2}t}}{\omega_1} \lef... ...\omega_1 t + \frac{k}{2} \sin \omega_1 t} \end{array}\right),$$ (36)

где $\omega_1 = \frac{\sqrt{4-k^2}}{2}$. Подставляя (36) в (34), получаем

$$\begin{eqnarray*}{c} \lefteqn{{\cal R}_1({u(\cdot)}) = }\\ [3ex] \displaystyle \... ...{2} \sin \omega_1(T-s)} \end{array}\right) x_1^2(s)x_2(s)\, ds. \end{eqnarray*}$$

Используя (18) и (20), отсюда получаем

$$\vert{\cal R}_1({u(\cdot)})\vert \leqslant k\, \alpha\, \bet... ...e^{\frac{k}{2}(T-s)}}{\omega_1}\, \Vert{u(\cdot)}\Vert^3\, ds,$$

т.е.

$$\vert{\cal R}_1 ({u(\cdot)})\vert \leqslant \mu(T)\, \Vert{u(\cdot)}\Vert^3,$$ (37)

где $\mu(T) = \frac{2\sqrt{2}\,\alpha \beta}{\omega_1}\left(\,e^{\frac{k}{2}T} - 1\,\right)$.

Далее, при $r \in \mathbb{R}^1$ (см. (28))

$$L(r) = \frac{e^{\frac{k}{2}r}}{\omega_1} \bigcup\limits_{u \... ...+ \frac{k}{2}\sin \omega_1 r} \end{array}\right) u \,\right].$$ (38)

Рассмотрим опорную функцию $C(M, \psi)$ (см. [10]) для выпуклого компакта $M$ (см. (29)):

$$C(M, \psi) = \max\limits_{m \in M} \langle m, \psi \rangle,$$ (39)

где $\langle m , \psi \rangle$ означает скалярное произведение векторов $m$ и $\psi$ из $\mathbb{R}^2$. Остановимся на случае, когда $U = [0, q]$, где $q >0$. Такой случай представляет интерес для экономических приложений (см. [12], [13]). Используя свойства интеграла от многозначного отображения (см. [10]), а также формулы (28), (38), (39), можно показать, что

$$C(M, \psi) = q \int\limits^{T}_{0} \frac{e^{\frac{k}{2}r}}{\... ...omega_1 r + \psi_2 \omega_1 \cos \omega_1 r\,\right]^{+}\, dr,$$ (40)

где $\psi_1$, $\psi_2$ - компоненты вектора $\psi \in \mathbb{R}^2$ и

$$[d]^{+} = \max \{0, d\}\ \ \mbox{при} \ \ d \in \mathbb{R}^1.$$

При условии $\vert\psi\vert = 1$ величины $a = \psi_1 + \frac{k}{2}\psi_2$, $b = \psi_2 \omega_1$ удовлетворяют неравенству $a^2 + b^2 >0$. Формулу (40) можно переписать в виде

$$C(M, \psi) = q \int\limits^{T}_{0} \frac{e^{\frac{k}{2}r}}{\... ...left[\,a\sin \omega_1 r + b \cos \omega_1 r\,\right]^{+}\, dr.$$

Очевидно, что существует такой угол $\varphi (\psi) \in [0, 2\, \pi]$, что $\cos \varphi (\psi) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $\sin \varphi (\psi) = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. Следовательно,

$$C(M, \psi) = \sqrt{a^2 + b^2}\, q \int\limits^{T}_{0} \frac{... ...bigl[\, \sin ( \omega_1 r + \varphi (\psi))\,\bigr]^{+} \, dr.$$ (41)

Из (41) следует, что при $T > \frac{\pi}{\omega_1}$ и $U = [0, q]$, где $q >0$, для произвольного $\psi \not=0$ $C(M, \psi)>0$. С помощью выпуклого анализа (см., например, [10]) отсюда получаем, что при $T > \frac{\pi}{\omega_1}$ $0 \in {\rm int\/\ } M$ и что радиус $r_0$ максимального шара с центром в $0$, содержащегося в $M$, определяется формулой

$$r_0 = q \min\limits_{\varphi \in [0, 2\, \pi]}\, \biggl\{\sq... ... \bigl[ \sin ( \omega_1 r + \varphi )\bigr]^{+} \, dr\biggr\}.$$ (42)

Применяя теорему о накрытии (см. выше), можно заключить, что при $T > \frac{\pi}{\omega_1}$

$$\frac{\varepsilon _0}{2}M \subset {\cal D}(T),$$

где величина $\varepsilon _0 \in (0,1)$ находится из неравенства (см. (37))

$$\frac{2\sqrt{2}\, \alpha \beta}{\omega_1}\left(\,e^{\frac{k}... ...right)\, \varepsilon _{0}^{3} < \frac{\varepsilon _0}{2}\,r_0,$$

опорная функция выпуклого компакта $M$ определяется формулой (41), а величина $r_0 >0$ дается формулой (42). Случай $U = [-q, q]$, где $q >0$, рассматривается с очевидными изменениями. Причем $0 \in {\rm int\/\ } M$ при любом $T>0$.

Пусть $k>2$ и $u \in [-1,1]$. В этом случае

$$e^{At} = \frac{e^{\frac{k}{2}t}}{\omega_2} \left(\begin{arra... ...ega_2 t + \omega_2 {\rm\,ch\,}\omega_2 t} \end{array}\right),$$ (43)

где $\omega_2 = \frac{\sqrt{k^2 - 4}}{2}$, ${\rm\,sh\,}r = \frac{e^r - e^{-r}}{2}$, ${\rm\,ch\,}r = \frac{e^r + e^{-r}}{2}$, $r \in \mathbb{R}^1$. Подставляя (43) в (34), получим

$$\begin{array}{l} {\cal R}_1({u(\cdot)}) = \mbox{}\\ [2ex] \q... ..._2 (T-s)} \end{array}\right) x_1^2(s) x_2(s)\, ds. \end{array}$$

Отсюда получаем, с помощью элементарных вычислений, что

$$\begin{array}{l} \vert{\cal R}_1({u(\cdot)})\vert \leqslant ... ...)\,\bigr\vert\bigl\vert\,x_2(T-r)\,\bigr\vert\, dr. \end{array}$$

Используя (18) и (20), далее получаем:

$$\vert{\cal R}_1({u(\cdot)})\vert \leqslant \frac{\alpha \bet... ...a_2 e^{\frac{k}{2}r} \,\right)\, dr \, \Vert{u(\cdot)}\Vert^3.$$

Таким образом,

$$\vert{\cal R}_1({u(\cdot)})\vert \leqslant \mu_2(T) \Vert{u(\cdot)}\Vert^3,$$ (44)

где

$$\mu_2(T) = \frac{\alpha\beta k}{2 \omega_2} \left(\, \frac{1... ...\omega_2}{k} \left(\, e^{\frac{k}{2}T} - 1 \,\right)\,\right).$$

Далее, при $r \in \mathbb{R}^1$ рассмотрим многозначное отображение

$$L(r) = \frac{e^{\frac{k}{2}r}}{\omega_2} \bigcup\limits_{u \... ..._2 r + \omega_2 {\rm\,ch\,} \omega_2 r} \end{array}\right) u.$$ (45)

Как и в предыдущем случае, рассмотрим опорную функцию $C(M, \psi)$ для выпуклого компакта $M$ (см. (29), (39)). Используя свойства интеграла от многозначного отображения (см. [10]), в также формулы (28), (39), (45), можно показать, что

$$C(M, \psi) = \int\limits^{T}_{0} \frac{e^{\frac{k}{2}r}}{\om... ...2 r + \psi_2 \omega_2 {\rm\,ch\,}\omega_2 r\,\biggr\vert\, dr.$$ (46)

Перепишем (46) в виде

$$C(M, \psi) = \int\limits^{T}_{0} \frac{e^{\frac{k}{2}r}}{\om... ...m\,sh\,}\omega_2 r + b {\rm\,ch\,}\omega_2 r\,\bigr\vert\, dr,$$ (47)

где $a = \psi_1 + \frac{k}{2}\psi_2$, $b = \psi_2 \omega_2$. Нетрудно доказать, что функции ${\rm\,sh\,}\omega_2 r$ и ${\rm\,ch\,}\omega_2 r$ являются линейно независимыми на любом ненулевом отрезке, поэтому $a {\rm\,sh\,}\omega_2 r + b {\rm\,ch\,}\omega_2 r \not\equiv 0$ при $\vert a\vert + \vert b\vert >0$ на любом ненулевом отрезке. Следовательно, $C(M, \psi)>0$ для любого $T>0$ и для любого $\psi$ из единичной окружности. С помощью выпуклого анализа (см. [10]) отсюда получаем, что $0 \in {\rm int\/\ } M$ для любого $T>0$ и что радиус $r_0$ максимального шара с центром в $0$, содержащегося в $M$, определяется формулой

$$r_0 = \min\limits_{\vert\psi\vert=1} \int\limits^{T}_{0} \fr... ...2 r + \psi_2 \omega_2 {\rm\,ch\,}\omega_2 r\,\biggr\vert\, dr.$$ (48)

Применяя теорему о накрытии и неравенство (44), можно утверждать, что для любого $T>0$

$$\frac{\varepsilon _0}{2}M \subset {\cal D}(T),$$

где величина $\varepsilon _0 \in (0,1)$ находится из неравенства

$$\mu_2(T) \varepsilon _{0}^{3} < \frac{\varepsilon _0}{2} r_0.$$

Опорная функция выпуклого компакта $M$ определяется формулой (47).

Случай, когда $U = [-q, q]$, где $q >0$, анализируется с очевидными изменениями.

При $k=2$ получаем

$$e^{At} = e^{t} \left(\begin{array}{cc} {1-t}, & {t} \\ [2ex] {-t}, & {1+t} \end{array}\right).$$ (49)

Аналогично предыдущим случаям, подставляя (49) в (34), получаем

$${\cal R}_1({u(\cdot)}) = -k \int\limits^{T}_{0} e^{(T-s)} \l... ...[1ex] {1 + (T-s)} \end{array}\right) x_{1}^{2}(s)x_2(s)\, ds.$$

Отсюда получаем, что

$$\vert{\cal R}_1({u(\cdot)})\vert \leqslant k \int\limits^{T}... ...2 + (1 + r)^2} \vert x_1(T-r)\vert^2 \vert x_2(T-r)\vert\, dr.$$

Используя (18) и (20), теперь получаем

$$\vert{\cal R}_1({u(\cdot)})\vert \leqslant k \int\limits^{T}... ...rt{r^2 + (1 + r)^2}\, \alpha\beta \Vert{u(\cdot)}\Vert^3\, dr,$$

т.е.

$$\vert{\cal R}_1({u(\cdot)})\vert \leqslant \mu_3(T) \Vert{u(\cdot)}\Vert^3,$$ (50)

где

$$\mu_3(T) = k \alpha \beta \int\limits^{T}_{0} e^r \sqrt{r^2 + (1 + r)^2}\, dr.$$

Пусть $U = [-1,1]$. Тогда при $r \in \mathbb{R}^1$ (см. (28))

$$L(r) = e^r \bigcup\limits_{u \in [-1,1]} \left(\begin{array}{c} {r} \\ [1ex] {1+r} \end{array}\right) u.$$ (51)

Рассмотрим опорную функцию $C(M, \psi)$ для $M$ (см. (29)). Используя свойства интеграла от многозначного отображения (см. [10]), а также (29), (39), (51), можно показать, что

$$C(M, \psi) = \int\limits^{T}_{0} e^r \bigl\vert\,r \psi_1 + (1+r)\psi_2\,\bigr\vert\, dr.$$ (52)

Нетрудно далее показать, что для любого $T>0$ и для любого $\psi$ из единичной окружности $C(M, \psi)>0$. С помощью выпуклого анализа (см. [10]) получаем, что $0 \in {\rm int\/\ } M$ для любого $T>0$ и радиус $r_0$ максимального шара с центром в $0$, содержащегося в $M$, определяется формулой

$$r_0 = \min\limits_{\vert\psi\vert=1} \int\limits^{T}_{0} e^r \bigl\vert\,r \psi_1 + (1+r)\psi_2 \,\bigr\vert\, dr.$$

Применяя теорему о накрытии и неравенство (50), можно утверждать, что для любого $T>0$

$$\frac{\varepsilon _0}{2}M \subset {\cal D}(T),$$

где величина $\varepsilon _0 \in (0,1)$ находится из неравенства

$$k \alpha \beta \int\limits^{T}_{0} e^r \sqrt{r^2 + (1+r)^2}\, dr \, \varepsilon _{0}^{3} < \frac{\varepsilon _0}{2}r_0.$$

Случай $U = [-q, q]$, где $q >0$, можно рассмотреть аналогичным образом.

Можно было бы также во всех трех вариантах расположения числа $k >0$ рассмотреть более общий случай: $U = [-q_1, q_2]$, где $q_i>0$. Но соответствующие формулы для нахождения величины $\varepsilon _0$ становятся значительно сложнее по виду.

Поступила 1.10.1999