1. Ограниченные и сильно ограниченные подмножества

Так как C(X) совпадает с то эквивалентно пространству где получается из добавлением замыканий в элементов Так как то элементы можно рассматривать как регулярные борелевские меры на носители которых являются элементами

мы всегда будем рассматривать в слабой топологии (относительно двойственности которая является топологией поточечной сходимости на элементах C(X).

Если - некоторая линейная топология на то мы будем писать вместо

Через обычно обозначается пространство, сопряженное к и наделенное -топологией; по другому, - свободное линейное пространство, натянутое на X и снабженное топологией, проективной относительно семейства форм сужения которых на X непрерывны.

Каждая точка имеет единственное представление где

Положив получим конечнозначное отображение Оно порождает отображения работающие по правилам: и

Продолжим отображение до отображения положив равным носителю меры, соответствующей элементу Тогда компактно и Заменив в определении множество b(x) на множество получим отображения Заметим, что автоматически выполняются свойства:

1) отображения открыты для всех ;

2) отображение полунепрерывно снизу.

Установим другие свойства.

3) Отображение ограничено, т.е., переводит ограниченные множества в ограниченные.

Действительно, пусть множество не ограничено. Тогда найдется функция неограниченная (скажем, сверху) на Для каждого выберем элемент такой, чтобы и Пусть точка такова, что Семейство дискретно в поэтому можно выбрать дискретную систему окрестностей точек в так, чтобы выполнялось условие:

a) при i<n.

Выберем функции такими, чтобы выполнялись условия:

b) вне

c)

Понятно, что это можно сделать. Положим Тогда (в силу b) и дискретности и (в силу b) и вытекаемого из a) свойства: при n>i). Доказано, что не ограничена на A, следовательно, A - неограниченное множество.

Так как ограниченное множество в относительно компактно, то 3) можно переформулировать так:

3') Отображение компактно.

Следующее утверждение имеет технический характер.

4) Пусть множество A ограничено в - локально конечная последовательность функционально открытых подмножеств Тогда найдутся и такие, что где - абсолютная поляра A.

Предположим, что таких n и не найдется. Абсолютная поляра точки является окрестностью нуля в поэтому найдутся множество и число такие, что Для каждой точки зафиксируем такие и Построим по индукции последовательности с выполнением условий:

при n>k (где - продолжение f на ).

Для начала положим Выберем функцию так, чтобы и (последнее неравенство осуществимо в силу предположения Точку выберем из A, исходя из условия Положим будем иметь: и

Предположим, что построены и для всех i<n с выполнением условий a) - d). Найдется число k(n) такое, что - в силу ограниченности множества и локальной конечности Выберем функцию так, чтобы выполнялись условия:

где

Элемент выберем, исходя из условия Для удобства предположим, что числа и одного знака. Положим Тогда но или а в силу равенства знаков Так как при k<n, то (по выбору ), следовательно, при k<n. Доказано, что для последовательностей и выполняются условия a) - d).

Положим Функция f определена корректно и непрерывна. Действительно, если то в силу локальной конечности и определения найдется номер такой, что содержит некоторую окрестность V точки x. Пусть Функции при ограничены на единицей (по условию a) и включению при ). Поэтому функция непрерывна на следовательно, непрерывна на и функция Так как то f непрерывна в точке x.

Пусть Найдется n такое, что Рассуждения, аналогичные вышеприведенным, показывают, что ряд сходится к функции f равномерно на B. Это означает, что ряд сходится к f в пространстве поэтому для всякого

По условию b) С другой стороны, (см. условие d)). Следовательно, Это означает, что функция не ограничена на A, чего быть не может. 4) доказано.

Далее понадобится следующее утверждение.

5) Пусть W - выпуклое множество в где - нуль-множество X. Тогда где

Достаточно рассмотреть случай n=2. Пусть и Положим Пусть функция обладает свойствами: и ( функционально отделимы как дизъюнктные нуль-множества). Положим Выберем функции под условиями: и положим Тогда и

Выберем число исходя из условий 0<t<1 и Понятно, что такой выбор возможен. Положим и Функции определим по формулам: где j=3-i. Докажем, что функции непрерывны.

Пусть точка x лежит на границе множества Тогда влечет влечет где s=k при j=2, и s=1-k при j=1. Таким образом, и согласованы на что достаточно для непрерывности

Заметим, что Действительно, совпадает с на множестве при этом на и на С другой стороны, по выбору k. Искомое неравенство установлено, из него следует, что Заметим, что Но Действительно, на множестве функции совпадают с f, на множестве функции совпадают с а функция совпадает с при этом так что 5) доказано.

6) Пусть - ограниченное подмножество Положим F - нуль-множество и для некоторого Тогда - базис фильтра, обладающий свойствами:

ограничено в

для некоторого

Заметим, что (очевидно, что F(A)). Если найдется конечный набор F с пустым пересечением, то из условия и утверждения 5) следует, что для всякой функции из C(X), что возможно только в случае Следовательно, не содержит пустых множеств и центрировано в силу 5).

Докажем, что Для каждой точки зафиксируем множество такое, что для некоторого Ясно, что где Предположим, что для некоторой точки найдется множество F(A) такое, что В силу компактности найдется нуль-множество , содержащее и не пересекающееся с T. Ясно, что Пусть По утверждению 5) Но влечет или что невозможно. Доказано, что семейство является базисом фильтра в для каждой точки Следовательно, Установлено e).

Предположим, что F - неограниченное множество. Тогда найдется дискретная последовательность непустых функционально открытых в множеств такая, что для всех n. Ясно, что в такой ситуации применимо утверждение 4), из которого можно вывести, что для некоторых n и (где т.е., Но что невозможно. Установлено f).

Проверим g). Пусть F(A) произвольно выбрано, и Пусть Положим и Тогда Пусть и - семейство всех нуль-множеств, содержащих Тогда найдутся множества F(A) и такие, что Действительно, поэтому найдутся множества и такие, что (в силу компактности ). Замкнутое множество не пересекается с компактным множеством поэтому найдется множество не пересекающееся с K. Множества и - искомые. Положим По утверждению 5) Но следовательно, Так как точка выбрана произвольно из A, то и g) установлено. 6) доказано.

7)

Пусть и Тогда найдется функция такая, что и f=0 на F. Но это противоречит свойству g). Следовательно,

Допустим, что Тогда найдется нуль-множество S, содержащее и не содержащее F. Пусть и Положим Нуль-множества S и T не пересекаются, поэтому найдется функция такая, что Положим g=fh. Тогда так что и для всякого (по свойству g)). Но на S, тем более на всяком а это означает, что для всех так что и F(A) по определению F(A). Тогда что противоречит строгому включению 7) доказано.

Подведем итоги.

Теорема 1. Множество A ограничено в тогда и только тогда, когда ограничено в и для некоторого

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость следует из 3), 6), 7).

Пусть ограничено и Пусть Функция f ограничена на некоторым числом k. При мы имеем так что для всех или при

Теорема доказана.

На подмножествах можно определить неотрицательную функцию в положив Тогда теорема 1 получит более компактную формулировку:

Теорема 1'. Множество A ограничено в тогда и только тогда, когда ограничено и

Переходим к описанию сильно ограниченных множеств.

Скажем, что множество :

a) сильно--ограничено, или обладает свойством (sb), если всякая ограниченная в последовательность ограничена на B,

b) обладает свойством (ub), или является (ub)-множеством, если всякая сходящаяся к нулю последовательность в равномерно сходится к нулю на B.

Теорема 2. Следующие предложения эквивалентны:

множество сильно ограничено;

и множество обладает свойством (sb);

и множество обладает свойством (ub).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество не обладает свойством (ub). Это означает, что найдется последовательность сходящаяся к нулю в но сходимость не является равномерной на множестве Тогда можно предположить, что для всех n и некоторого Последовательность обладает свойством (c): всякое пересекается только с конечным числом элементов Можно подобрать функции так, чтобы выполнялись свойства:

вне ;

для некоторого

Свойства (c) и (d) в совокупности гарантируют нам ограниченность последовательности в Тогда свойство (e) говорит о неограниченности множества A в сильной топологии Доказано

Пусть теперь последовательность ограничена в но не ограничена на Можно предположить, что Последовательность обладает вышеопределенным свойством (c), так что любая последовательность обладающая свойством (d), будет сходиться к нулю в Ясно, что среди таких последовательностей имеются не сходящиеся равномерно на Этим доказано

Пусть последовательность ограничена в Если выполняется условие то ограничена на некоторым числом k. Тогда так что или для всех Это означает, что A сильно ограничено. Теорема доказана.

Описать аналогичным образом компактные подмножества нельзя, ибо отображение не выделяет их из класса ограниченных множеств.