В. И. Васильков, Г. В. Масленников
Используя единый метод - метод поэтапных отождествлений, а также ЭВМ, авторы провели полное исследование k-дуг рассматриваемой плоскости для k = 3, 4,..., 10и получили общее число типов k-дуг указанных порядков как для полных, так и для неполных дуг.
Введение
Плоскость Хьюза - одна из четырех известных конечных
проективных плоскостей порядка 9. Ее подробное описание имеется в
статье [1] одного из авторов. K-дуга в конечной
проективной плоскости (КПП) порядка n - это любое множество
из k точек плоскости (k 
3), никакие 3 из которых не лежат
на одной прямой. Если k-дуга не может быть расширена до
(k+1)-дуги, то она называется полной.
В работах ряда отечественных и зарубежных математиков уже несколько десятилетий ведутся исследования по изучению k-дуг в КПП порядка n. Эти исследования ведутся по нескольким направлениям:
1) нахождение всех типов k-дуг, полных и неполных, в КПП заданного порядка n;
2) рассмотрение дуг как обобщений выпуклых линий и кривых второго порядка (овалы, части овалов);
3) построение плоскостей порядка n над заданной k-дугой.
Исследование, проведенное авторами, примыкает к первому направлению. До этого исследования о k-дугах плоскости Хьюза порядка 9 было известно следующее:
а) наибольшее значение k для k-дуги в указанной плоскости равно 9 + 1 = 10; это следует из работы [2] Боуза (Bose R.C.), который доказал, что максимальный порядок k-дуги в плоскости нечетного порядка n равен n + 1;
б) k-дуги указанной плоскости для k = 3, 4, 5 и некоторых типов для k = 6 исследованы В.И. Васильковым (см. [1], [3], [4]);
в) полные k-дуги для k = 6, 9, 10 исследовал Деннистон (Denniston R.H.F.) в статье [5]; Деннистон установил, что в плоскости Хьюза порядка 9 имеются: 2 типа полных 6-дуг, 3 типа полных 9-дуг, 2 типа полных 10-дуг (или овалов, так как овал в КПП нечетного порядка n - это (n+1)-дуга).
Как следует из этого обзора, оставались неисследованными неполные k-дуги для k = 6, 7, 8, 9 и полные k-дуги для k = 7, 8. Этот пробел в исследовании k-дуг и предстояло заполнить. Но выполнить эту работу вручную оказалось слишком сложно. Достаточно сказать, что имеется 520 различных типов 5-дуг (см. [3], [4]), неполных, так как при n = 9 k-дуга при условии С2k - 1 < n не будет полной; это установил Мартин (Martin G.E.) в статье [6]. Поэтому пришлось решать задачу с помощью ЭВМ. Программа, составленная для решения сформулированной задачи, позволила получить все типы k-дуг для k = 3, 4,..., 10. При этом были подтверждены результаты, полученные ранее для некоторых значений kВ.И. Васильковым и Деннистоном (см. п.п. б, в, а также таблицу основных результатов в Приложении 2).
Метод поэтапных отождествлений, использованный в [1], [3] и [4], разумеется, применялся и в данном исследовании, но в несколько измененном виде, с учетом работы на ЭВМ.
Заметим также, что для отыскания опорных (типовых) k-дуг
(при k
3) использовалась исходная информация о k-наборах
точек в плоскости Хьюза для k = 1, 2, а именно:
а) перечень опорных k-наборов для каждого k;
б) группа автоморфизмов для каждого из таких опорных k-наборов.
Эти результаты, приведенные в статье [1], в данной работе были модифицированы для применения ЭВМ. Модификация состояла в том, что все используемые опорные k-наборы точек представлялись в лексикографическом порядке. В целях общности терминологии, в этой работе k-наборы точек для k = 1, 2 названы также k-дугами. Это соглашение используется в Приложении 1.