ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВОЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ F4(q)

В. В. Кораблева

Аннотация:

Определены степень, ранг, подстепени и двойные стабилизаторы подстановочных представлений групп лиевского типа F4(q) по параболическим максимальным подгруппам неминимального индекса.

Изучение свойств конечных простых групп остается актуальным и после завершения в начале 80-х годов классификации конечных простых групп. На первый план выходит изучение различных свойств известных простых групп. Для этого используется информация о представлениях групп подстановками. Важнейший класс подстановочных представлений групп лиевского типа составляют параболические представления, т. е. представления на смежных классах по параболическим подгруппам. Пусть G - конечная группа лиевского типа и P - параболическая максимальная подгруппа в группе G. Тогда можно рассмотреть представление группы G подстановками множества $ \Omega$ правых смежных классов по подгруппе P, в котором элементу g из G соответствует подстановка, переводящая каждый смежный класс Px в Pxg. Обозначим через n степень этого представления. Подгруппа P является стабилизатором G$\scriptstyle \alpha$ точки $ \alpha$ = P из $ \Omega$ в данном представлении. Рассмотрим действие G$\scriptstyle \alpha$ на $ \Omega$ - {$ \alpha$}, и пусть $ \Omega_{1}^{}$, $ \Omega_{2}^{}$,... ,$ \Omega_{k}^{}$ - все G$\scriptstyle \alpha$-орбиты из $ \Omega$ - {$ \alpha$}, тогда число k + 1 является подстановочным рангом подстановочного представления (G,$ \Omega$), а подстепени этого представления равны мощностям орбит $ \Omega_{i}^{}$ и могут быть вычислены как индексы двойных стабилизаторов G$\scriptstyle \alpha$ $ \cap$ G$\scriptstyle \alpha_{i}$ в группе G$\scriptstyle \alpha$, где $ \alpha_{i}^{}$ $ \in$ $ \Omega_{i}^{}$. В [1], где дается обзор результатов о подгруппах конечных групп лиевского типа, указывается на важность исследований подстановочных представлений на смежных классах по параболическим подгруппам. Во-первых, подстановочные представления минимальной степени, как правило, параболические (см. [2] и [3]). Во-вторых, примитивные подстановочные представления групп лиевского типа большого ранга почти всегда являются параболическими (см. § 6 из [1]). Параболические представления минимальной степени группы F4(q) изучены в [4]. В данной работе определяются ранги, подстепени и двойные стабилизаторы подстановочных представлений группы лиевского типа F4(q) по параболическим максимальным подгруппам неминимального индекса. Обозначаем через X . Y (соответственно X : Y) расширение (расщепляемое расширение) группы X посредством группы Y, Xl - прямое произведение l изоморфных копий группы X, a - циклическую группу порядка a. Также используем определения и обозначения, связанные с группами лиевского типа, из [5]. Система корней $ \Phi$ типа F4 состоит из 48 элементов, ее простые корни обозначим через p1, p2, p3, p4. Обозначим корень a1p1 + a2p2 + a3p3 + a4p4 из $ \Phi$ через a1a2a3a4, тогда множество положительных корней $ \Phi^{+}_{}$ состоит из элементов

r1 = 1000, r9 = 0120, r17 = 1221,
r2 = 0100, r10 = 0111, r18 = 1122,
r3 = 0010, r11 = 1120, r19 = 1231,
r4 = 0001, r12 = 1111, r20 = 1222,
r5 = 1100, r13 = 0121, r21 = 1232,
r6 = 0110, r14 = 1220, r22 = 1242,
r7 = 0011, r15 = 1121, r23 = 1342,
r8 = 1110, r16 = 0122, r24 = 2342.

Пусть K = GF(q), q = ps, p - простое число, G = F4(q), W - группа Вейля для G. Известно, что G = $ \langle$xr(t) | t $ \in$ K, r $ \in$ $ \Phi$$ \rangle$ и | G| = q24(q2 - 1)(q6 - 1)(q8 - 1)(q12 - 1) (см. [5]). Для работы с группой G и системой корней $ \Phi$ мы используем компьютерную систему ГАП, ( см. [6]), поэтому будем придерживаться некоторых ее обозначений. Занумеруем корни r из $ \Phi$ числами от 1 до 48 так: присвоим номера от 1 до 24 положительным корням ri по порядку, а соответствующим отрицательным корням - ri присвоим номера 24 + i, 1 $ \leq$ i $ \leq$ 24. Тогда каждый элемент группы W можно задать подстановкой на множестве {1, 2,..., 48} и эту подстановку представим в виде произведения независимых циклов. Будем обозначать элемент wpj из W через wj, 1 $ \leq$ j $ \leq$ 4, а xri(t) и x-ri(t) из G через xi(t) и xi + 24(t) соответственно, 1 $ \leq$ i $ \leq$ 24 и корневую подгруппу $ \langle$xl(t) | t $ \in$ K$ \rangle$ через Xl, Xl $ \cong$ K, 1 $ \leq$ l $ \leq$ 48. Элементы hr(t) и nr(t) группы G задаются соотношениями: nr(t) = xr(t) . x-r(- t-1) . xr(t), hr(t) = nr(t) . nr(- 1) для любого корня r из $ \Phi$. Тогда подгруппа Картана H из G равна

$\displaystyle \langle$hp1(t) | t $\displaystyle \in$ K * $\displaystyle \rangle$ x $\displaystyle \langle$hp2(t) | t $\displaystyle \in$ K * $\displaystyle \rangle$ x $\displaystyle \langle$hp3(t) | t $\displaystyle \in$ K * $\displaystyle \rangle$ x $\displaystyle \langle$hp4(t) | t $\displaystyle \in$ K * $\displaystyle \rangle$.

Каждая подгруппа $ \langle$hpj(t) | t $ \in$ K * $ \rangle$, 1 $ \leq$ j $ \leq$ 4, является циклической группой порядка q - 1 и hs($ \mu$)xr(t)h-1s($ \mu$) = xr($ \mu^{A_{sr}}_{}$t), где Asr - число Картана (§ 3 лемма 20 из [7]). Пусть N = $ \langle$H, nr(1) | r $ \in$ $ \Phi$$ \rangle$. Существует гомоморфизм $ \phi$ из N на W такой, что $ \phi$(nr) = wr, для всех r $ \in$ $ \Phi$. Ядром этого гомоморфизма является подгруппа H. Таким образом, N/H $ \cong$ W (теорема 7.2.2 из [5]). Обозначим через $ \Phi_{j}^{}$ множество корней из $ \Phi$ с aj = 0, 1 $ \leq$ j $ \leq$ 4. В группе G имеется c точностью до сопряжения четыре параболических максимальных подгруппы: Pj = $ \langle$H, Xi | i $ \in$ $ \Phi^{+}_{}$ $ \cup$ $ \Phi_{j}^{}$$ \rangle$, 1 $ \leq$ j $ \leq$ 4. Подгруппы P1 и P4 являются максимальными собственными подгруппами наименьшего индекса, и подстановочные представления группы G по ним исследованы в [4]. Определим ранг, степень, подстепени и двойные стабилизаторы подстановочных представлений группы G на правых смежных классах по P2, а затем по P3. Воспользуемся разложением Леви (8.5.2 из [5]): Pj = UjLj, где Uj = $ \langle$Xi | i $ \in$ $ \Phi^{+}_{}$$ \backslash$$ \Phi^{+}_{j}$$ \rangle$, Lj = $ \langle$H, Xi | i $ \in$ $ \Phi_{j}^{}$$ \rangle$, тогда P2 = U2L2, где U2 = $ \langle$Xi | 2 $ \leq$ i $ \leq$ 24, i $ \neq$ 3, 4, 7$ \rangle$, L2 = $ \langle$H, X1, X25, X3, X27, X4, X28, X7, X31$ \rangle$. Рассмотрим подгруппу L2. Заметим, что

$\displaystyle \langle$hp1(t) | t $\displaystyle \in$ K * $\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \langle$X1, X25$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ SL2(q)

и

$\displaystyle \langle$hp3(t), hp4(u) | t, u $\displaystyle \in$ K * $\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \langle$X3, X27, X4, X28, X7, X31$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ SL3(q),

поэтому

L2 = Op'(L2) : $\displaystyle \langle$hp2(t) | t $\displaystyle \in$ K * $\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ (SL2(q) x SL3(q)) : (q - 1).

Выпишем все нетривиальные коммутаторные соотношения для корневых порождающих подгруппы U2, вытекающие из коммутаторной формулы Шевалле (теорема 5.2.2 из [5]). Если p $ \neq$ 2, то имеем

[x11(u), x2(t)] = x14( $\displaystyle \pm$ tu)    (*)
[x15(u), x2(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)x24( $\displaystyle \pm$ tu2)
[x18(u), x2(t)] = x20( $\displaystyle \pm$ tu)
[x22(u), x2(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ tu)
[x9(u), x5(t)] = x14( $\displaystyle \pm$ tu)
[x13(u), x5(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)x23( $\displaystyle \pm$ tu2)
[x16(u), x5(t)] = x20( $\displaystyle \pm$ tu)
[x22(u), x5(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ tu)
[x8(u), x6(t)] = x14( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x12(u), x6(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)
[x15(u), x6(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)
[x18(u), x6(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)x23( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x21(u), x6(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x10(u), x8(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)
[x13(u), x8(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)
[x16(u), x8(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)x24( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x21(u), x8(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x12(u), x9(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)x24( $\displaystyle \pm$ tu2)
[x18(u), x9(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ tu)
[x20(u), x9(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ tu)
[x11(u), x10(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)x23( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x12(u), x10(t)] = x20( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x15(u), x10(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x19(u), x10(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x16(u), x11(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ tu)
[x20(u), x11(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ tu)
[x13(u), x12(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x19(u), x12(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x15(u), x13(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x17(u), x13(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x16(u), x14(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ tu)
[x18(u), x14(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ tu)
[x17(u), x15(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ 2tu).

Если p = 2, то имеем

[x11(u), x2(t)] = x14( $\displaystyle \pm$ tu)    (**)
[x15(u), x2(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)x24( $\displaystyle \pm$ tu2)
[x18(u), x2(t)] = x20( $\displaystyle \pm$ tu)
[x22(u), x2(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ tu)
[x9(u), x5(t)] = x14( $\displaystyle \pm$ tu)
[x13(u), x5(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)x23( $\displaystyle \pm$ tu2)
[x16(u), x5(t)] = x20( $\displaystyle \pm$ tu)
[x22(u), x5(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ tu)
[x12(u), x6(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)
[x15(u), x6(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)
[x18(u), x6(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)x23( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x10(u), x8(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)
[x13(u), x8(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)
[x16(u), x8(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)x24( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x12(u), x9(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)x24( $\displaystyle \pm$ tu2)
[x18(u), x9(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ tu)
[x20(u), x9(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ tu)
[x11(u), x10(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)x23( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x15(u), x10(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x16(u), x11(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ tu)
[x20(u), x11(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ tu)
[x13(u), x12(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x16(u), x14(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ tu)
[x18(u), x14(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ tu).

Из этих соотношений следует, что U2 изоморфна p2s . (p6s . p12s) при p $ \neq$ 2 и 25s . (23s . 26s x 26s) при p = 2. Получаем | P2| = q24(q3 - 1)(q2 - 1)2(q - 1). Отсюда, используя теорему 25 из § 9 книги [7], вычисляется степень n подстановочного представления группы G на правых смежных классах по подгруппе P2: n = | G : P2| = $ {\frac{(q^3+1)(q^2+1)(q^4+1)(q^{12}-1)}{(q-1)}}$. Определим двойные стабилизаторы этого подстановочного представления, т. е. подгруппы вида P2 $ \cap$ Px2 = P2 $ \cap$ xP2x-1, где x $ \in$ G. Для этого необходимо выбрать подходящие элементы x из G. Согласно лемме 7.2.1 из [5] Xnri = nrXin-1r = Xwr(i). Поэтому действие сопряжением элемента nr на корневые подгруппы Xi можно отождествить с действием элемента wr из W на корни i, где i $ \in$ {1, 2,..., 48}, и писать Xwri вместо Xnri. Элемент

y1 = w1w2w1w3w2w1w3w2w3w4w3w2w1w3w2w3w4w3w2w1w3w2w3w4

из W переводит каждый положительный корень в противоположный, и тогда подгруппа N1 $ \equiv$ P2 $ \cap$ Py12 равна L2 и подстепень n1 = | P2 : N1| равна | U2| = q20. Рассмотрим элемент y2 = w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 5)(2, 26)(3, 6)(7, 10)(11, 14)(15, 17)(18, 20)(22, 23)

(25, 29)(27, 30)(31, 34)(35, 38)(39, 41)(42, 44)(46, 47).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py22 = $\displaystyle \langle$Xi | 5 $\displaystyle \leq$ i $\displaystyle \leq$ 24, i $\displaystyle \neq$ 7$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py22 = $\displaystyle \langle$H, X1, X3, X4, X7, X28$\displaystyle \rangle$,  
N2 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py22 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py22) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py22).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py22 изоморфна p2s . (p6s . p11s) при p $ \neq$ 2 и 25s . (23s . 25s x 26s) при p = 2. Подгруппа $ \langle$X4, X28$ \rangle$ из L2 $ \cap$ Py22 изоморфна SL2(q), а $ \langle$X1, X3, X7$ \rangle$ изоморфна p3s и поэтому

L2 $\displaystyle \cap$ Py22 $\displaystyle \cong$ p3s : (SL2(q) : (q - 1)3).

Заметим, что скалярные произведения (p2 + 2p3 + p4, p4), (p1, p4), (p2, p4) равны нулю и поэтому из леммы 20 из § 3 книги [7] следует, что элементы hp1(t) = h1(t), hp2(t) = h2(t), hp2 + 2p3 + p4(t) = h13(t) централизуют подгруппу $ \langle$X4, X28$ \rangle$ при любом t из K * . Кроме того, h13(t) = h2(t2)h3(t2)h4(t), и поэтому h13(t) $ \in$ $ \langle$X4, X28$ \rangle$ тогда и только тогда, когда t2 = 1. Получаем

L2 $\displaystyle \cap$ Py22 $\displaystyle \cong$ p3s : (d . (PSL2(q) x (q - 1)/d ) x (q - 1)2) . d,

где d = (2, q - 1), и подстепень n2 $ \equiv$ | P2 : N2| равна $ {\frac{q(q^3-1)(q+1)}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент y3 = w2w3w2w4w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 22, 20, 14)(2, 40, 26, 16)(3, 4, 6, 37)(5, 11, 18, 23)(7, 10, 31, 34)(8, 15, 21, 17)

(9, 33)(12, 19)(13, 27, 28, 30)(25, 46, 44, 38)(29, 35, 42, 47)(32, 39, 45, 41)(36, 43).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py32 = $\displaystyle \langle$Xi | 2 $\displaystyle \leq$ i $\displaystyle \leq$ 24, i $\displaystyle \neq$ 3, 4, 7, 9, 13, 16$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py32 = $\displaystyle \langle$H, X4, X28, X1, X27, X31$\displaystyle \rangle$,  
N3 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py32 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py32) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py32).  

Заметим, что L2 $ \cap$ Py32 $ \cong$ L2 $ \cap$ Py22. Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py32 изоморфна p2s . (p5s . p8s x p2s) при p $ \neq$ 2 и 25s . (22s . 23s x 27s) при p = 2. Вычисляем n3 $ \equiv$ | P2 : N3| = $ {\frac{q^3(q^3-1)(q+1)}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент y4 = w2w3w2w1w4w3w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 23, 26, 20, 11, 16)(2, 44, 35, 40, 25, 47)(3, 4, 8, 13, 30, 17)

(5, 9, 38)(6, 41, 27, 28, 32, 37)(7, 12, 19)(10, 34)(14, 29, 33)

(15, 21)(18, 24, 22)(31, 36, 43)(39, 45)(42, 48, 46).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py42 = $\displaystyle \langle$Xi | 8 $\displaystyle \leq$ i $\displaystyle \leq$ 24, i $\displaystyle \neq$ 10, 14, 17, 20$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py42 = $\displaystyle \langle$H, X4, X28, X1, X3, X7$\displaystyle \rangle$ = L2 $\displaystyle \cap$ Py22,  
N4 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py42 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py42) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py42).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py42 изоморфна p2s . (p2s . p5s x p3s) x ps при p $ \neq$ 2 и 24s . 27s x 22s при p = 2. Вычисляем n4 $ \equiv$ | P2 : N4| = $ {\frac{q^7(q^3-1)(q+1)}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент y5 = w2w1w3w2w3w4w3w2w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 2, 47, 25, 26, 23)(3, 19, 8, 31, 45, 36)(5, 46, 48, 29, 22, 24)

(6, 34)(7, 21, 12, 27, 43, 32)(9, 11, 14, 40, 42, 44)(10, 30)

(13, 15, 17, 37, 39, 41)(16, 18, 20, 33, 35, 38).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py52 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {2, 5, 8, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py52 = $\displaystyle \langle$H, X4, X28, X1, X27, X31$\displaystyle \rangle$ = L2 $\displaystyle \cap$ Py32,  
N5 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py52 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py52) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py52).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py52 изоморфна ps . (p3s . p4s x p4s) x ps при p $ \neq$ 2 и 22s . (22s . 23s x 2s) x 25s при p = 2. Заметим, что | U2 $ \cap$ Py52| = | U2 $ \cap$ Py42| и n5 = n4, хотя сами подгруппы U2 $ \cap$ Py52 и U2 $ \cap$ Py42 неизоморфны. Рассмотрим элемент y6 = w2w1w3w2w1w3w2w4w3w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 5, 40, 46, 42, 48, 25, 29, 16, 22, 18, 24)(2, 44, 35, 9, 38, 23, 26, 20, 11, 33, 14, 47)

(3, 4, 19, 30, 17, 34, 27, 28, 43, 6, 41, 10)(7, 21, 15, 12, 8, 37, 31, 45, 39, 36, 32, 13).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py62 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {5, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 21, 22, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py62 = $\displaystyle \langle$H, X4, X28, X1, X3, X7$\displaystyle \rangle$ = L2 $\displaystyle \cap$ Py22,  
N6 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py62 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py62) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py62).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py62 изоморфна ps . p6s x p3s при p $ \neq$ 2 и 2s . 22s x 27s при p = 2. Вычисляем n6 $ \equiv$ | P2 : N6| = $ {\frac{q^{10}(q^3-1)(q+1)}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент y7 = w1w2w3w2w1w3w2w4w3w2w1w3w2w4w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 47, 26, 38, 18, 33)(2, 14, 42, 9, 25, 23)(3, 32, 21, 27, 8, 45)(4, 12, 37, 34, 41, 7)

(5, 40, 44, 29, 16, 20)(10, 17, 31, 28, 36, 13)(11, 48, 22, 35, 24, 46)(15, 43)(19, 39).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py72 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {2, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 17, 20, 23}$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py72 = $\displaystyle \langle$H, X4, X28, X25, X27, X31$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ L2 $\displaystyle \cap$ Py22,  
N7 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py72 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py72) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py72).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py72 изоморфна p3s . p4s x p3s при p $ \neq$ 2 и 2s . 24s x 25s при p = 2. Вычисляем n7 $ \equiv$ | P2 : N7| = $ {\frac{q^{10}(q^3-1)(q+1)}{(q-1)}}$. Отметим, что L2 $ \cap$ Py72 $ \cong$ L2 $ \cap$ Py62, но подгруппы U2 $ \cap$ Py72 и U2 $ \cap$ Py62 неизоморфны, хотя | U2 $ \cap$ Py72| = | U2 $ \cap$ Py62|. Поэтому P2 $ \cap$ Py72 и P2 $ \cap$ Py62 неизоморфны. Рассмотрим элемент y8 = w2w1w3w2w1w4w3w2w1w3w2w4w3w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 22)(2, 48)(3, 8)(5, 29)(6, 45)(7, 12)(9, 40)(10, 43)(13, 37)(14, 44)(16, 33)

(17, 41)(19, 34)(20, 38)(21, 30)(23, 47)(24, 26)(25, 46)(27, 32)(31, 36).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py82 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {8, 11, 12, 15, 18, 22}$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py82 = $\displaystyle \langle$H, X4, X28, X1, X3, X7$\displaystyle \rangle$ = L2 $\displaystyle \cap$ Py22,  
N8 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py82 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py82) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py82).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py82 изоморфна p6s для любого p. Вычисляем n8 $ \equiv$ | P2 : N8| = $ {\frac{q^{14}(q^3-1)(q+1)}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент

y9 = w2w1w3w2w1w3w2w4w3w2w1w3w2w3w4w3w2w1w3

из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 5, 40)(2, 44, 18)(3, 4, 6, 41, 21, 39)(7, 10, 36)(8, 37)

(9, 38, 23, 48, 22, 35)(11, 33, 14, 47, 24, 46)(12, 31, 34)

(13, 32)(15, 27, 28, 30, 17, 45)(16, 25, 29)(19, 43)(20, 42, 26).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py92 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {2, 5, 6, 10}$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ p4s,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py92 = $\displaystyle \langle$H, X4, X28, X25, X27, X31$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ L2 $\displaystyle \cap$ Py22,  
N9 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py92 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py92) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py92).  

Вычисляем n9 $ \equiv$ | P2 : N9| = $ {\frac{q^{16}(q^3-1)(q+1)}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент y10 = w2w1w3w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 9)(2, 38)(3, 8)(4, 10)(5, 29)(6, 30)(7, 17)(12, 13)

(14, 26)(15, 19)(16, 20)(18, 23)(22, 24)(25, 33)(27, 32)

(28, 34)(31, 41)(36, 37)(39, 43)(40, 44)(42, 47)(46, 48).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py102 = $\displaystyle \langle$Xi | 8 $\displaystyle \leq$ i $\displaystyle \leq$ 24, i $\displaystyle \neq$ 14$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py102 = $\displaystyle \langle$H, X1, X3, X4, X7$\displaystyle \rangle$,  
N3 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py102 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py102) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py102).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py102 изомофна p3s . (p4s . p8s x ps) при p $ \neq$ 2 и 26s . 210s при p = 2. Подгруппа $ \langle$X1, X3, X4, X7$ \rangle$ из L2 $ \cap$ Py102 имеет единственное соотношение [x4(u), x3(t)] = x7( $ \pm$ tu), поэтому $ \langle$X1, X3, X4, X7$ \rangle$ $ \cong$ ps . p2s x ps для любого p и

L2 $\displaystyle \cap$ Py102 $\displaystyle \cong$ (ps . p2s x ps) : (q - 1)4.

Получаем n10 $ \equiv$ | P2 : N10| = $ {\frac{q^4(q^3-1)(q+1)^2}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент y11 = w2w1w3w2w1w4w3w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 20)(2, 47)(3, 13)(4, 8)(5, 33)(6, 41)(7, 19)(9, 29)

(10, 34)(11, 16)(14, 38)(15, 21)(17, 30)(18, 24)(23, 26)

(25, 44)(27, 37)(28, 32)(31, 43)(35, 40)(39, 45)(42, 48).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py112 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {8, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py112 = $\displaystyle \langle$H, X1, X3, X4, X7$\displaystyle \rangle$ = L2 $\displaystyle \cap$ Py102,  
N11 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py112 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py112) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py112).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py112 изоморфна p2s . (p2s . p4s x p3s) x ps при p $ \neq$ 2 и 24s . 26s x 22s при p = 2. Вычисляем n11 $ \equiv$ | P2 : N11| = $ {\frac{q^8(q^3-1)(q+1)^2}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент y12 = w2w1w3w2w1w3w4w3w2w1w3w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 11)(2, 48)(3, 12)(4, 13)(5, 44)(6, 43)(7, 21)(8, 34)(9, 33)

(10, 32)(14, 47)(17, 41)(18, 22)(19, 30)(20, 29)(23, 38)

(24, 26)(25, 35)(27, 36)(28, 37)(31, 45)(42, 46).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py122 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {11, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22}$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py122 = $\displaystyle \langle$H, X1, X3, X4, X7$\displaystyle \rangle$ = L2 $\displaystyle \cap$ Py102,  
N12 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py122 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py122) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py122).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что, подгруппа U2 $ \cap$ Py122 изоморфна p2s . p5s x ps при p $ \neq$ 2 и 22s . 24s x 22s при p = 2. Вычисляем n12 $ \equiv$ | P2 : N12| = $ {\frac{q^{12}(q^3-1)(q+1)^2}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент y13 = w2w3w2w4w3w2w1 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 24, 23, 25, 48, 47)(2, 42, 46, 40, 5, 14)(3, 4)

(6, 39, 45, 37, 8, 17)(9, 35, 44, 33, 11, 20)(10, 36, 43, 34, 12, 19)

(13, 32, 41, 30, 15, 21)(16, 29, 38, 26, 18, 22)(27, 28).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py132 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {2, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py132 = $\displaystyle \langle$H, X3, X4, X7, X27, X28, X31, X25$\displaystyle \rangle$,  
N13 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py132 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py132) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py132).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py132 изоморфна ps . p12s x ps при p $ \neq$ 2 и 2s . 26s x 27s при p = 2. Подгруппа $ \langle$X3, X4, X7, X27, X28, X31$ \rangle$ из L2 $ \cap$ Py132 изоморфна SL3(q), а $ \langle$X25$ \rangle$ $ \cong$ ps, поэтому L2 $ \cap$ Py132 $ \cong$ ps : (SL3(q) : (q - 1)2). Заметим, что

(p1, p3) = (p1, p4) = (p1 + 3p2 + 4p3 + 2p4, p3) = (p1 + 3p2 + 4p3 + 2p4, p4) = 0,

поэтому элементы hp1(t) и

h23(t) = hp1(t)hp2(t3)hp3(t2)hp4(t)

централизуют $ \langle$X3, X4, X7, X27, X28, X31$ \rangle$ при любом t из K * . Элемент h(t) = hp1(t-1)h23(t) = hp2(t3)hp3(t2)hp4(t) также централизует эту подгруппу и h(t) лежит в $ \langle$X3, X4, X7, X27, X28, X31$ \rangle$ тогда и только тогда, когда t3 = 1. Получаем L2 $ \cap$ Py132 $ \cong$ ps : (c . (PSL3(q) x (q - 1)/c) x (q - 1)) . c), где с = (3, q - 1). Имеем n13 $ \equiv$ | P2 : N13| = $ {\frac{q^6(q^2-1)}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент y14 = w2w3w2w1w3w4w3w2w1w3w2w4w3w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 24)(2, 44)(3, 27)(4, 7)(5, 11)(6, 45)(9, 46)(10, 41)(12, 15)

(13, 43)(14, 40)(16, 38)(17, 34)(19, 37)(20, 26)(21, 30)

(22, 33)(23, 47)(25, 48)(28, 31)(29, 35)(36, 39).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py142 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {5, 8, 11, 12, 15, 18, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py142 = $\displaystyle \langle$H, X3, X27, X4, X28, X7, X31, X1$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ L2 $\displaystyle \cap$ Py132,  
N14 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py142 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py142) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py142).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py142 изоморфна p7s для любого p. Вычисляем n14 $ \equiv$ | P2 : N14| = $ {\frac{q^{13}(q^2-1)}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент y15 = w2w1w3w2w1w3w2w4w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(2, 42, 48, 29, 16, 23)(3, 4, 19, 27, 28, 43)(5, 40, 47, 26, 18, 24)(6, 39, 36, 32, 13, 10)

(7, 21, 17, 31, 45, 41)(8, 37, 34, 30, 15, 12)(9, 35)(11, 33)(14, 46, 44, 38, 22, 20).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py152 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {2, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 17, 19, 20, 21, 23, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py152 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X4, X28, X27, X31$\displaystyle \rangle$,  
N15 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py152 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py152) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py152).  

Отметим, что $ \langle$X1, X25$ \rangle$ $ \cong$ $ \langle$X4, X28$ \rangle$ $ \cong$ SL2(q) и $ \langle$X27, X31$ \rangle$ $ \cong$ p2s, поэтому L2 $ \cap$ Py152 $ \cong$ p2s : ((SL2(q) x SL2(q)) : (q - 1)2). Рассмотрим элементы

h17(t) = hp1 + 2p2 + 2p3 + p4(t) = hp1(t2)hp2(t4)hp3(t2)hp4(t),

h22(t) = hp1 + 2p2 + 4p3 + 2p4(t) = hp1(t)hp2(t2)hp3(t2)hp4(t),

где t $ \in$ K * . В силу леммы 20 из 3 книги [7] h17(t) и h22(t) централизуют подгруппы $ \langle$X1, X25$ \rangle$,$ \langle$X4, X28$ \rangle$, так как для i = 1, 4 верны равенства

(p1 + 2p2 + 2p3 + p4, pi) = (p1 + 2p2 + 4p3 + 2p4, pi) = 0.

Элемент h(t) = h17(t)h22(t-1) = hp1(t)hp2(t2) также централизует указанные подгруппы при любом t из K * , причем h17(t) $ \in$ $ \langle$X4, X28$ \rangle$ тогда и только тогда, когда t2 = 1, а h(t) $ \in$ $ \langle$X1, X25$ \rangle$ тогда и только тогда, когда t2 = 1, Имеем

L2 $\displaystyle \cap$ Py152 $\displaystyle \cong$ p2s : (d . (PSL2(q) x (q - 1)/d ) . d x d . (PSL2(q) x (q - 1)/d ) . d ),

где d = (2, q - 1). Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py152 изоморфна p5s . p6s x p2s при p $ \neq$ 2 и 2s . 24s x 28s при p = 2. Вычисляем n15 $ \equiv$ | P2 : N15| = $ {\frac{q^{7}(q^3-1)}{(q-1)}}$. Рассмотрим элемент y16 = w2w1w3w2w3w4w3w2w1w3w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(2, 48)(3, 19)(5, 47)(6, 36)(7, 21)(8, 34)(10, 32)(12, 30)

(14, 44)(17, 41)(20, 38)(23, 29)(24, 26)(27, 43)(31, 45).

Тогда
U2 $\displaystyle \cap$ Py162 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {9, 11, 13, 15, 16, 18, 19, 21, 22}$\displaystyle \rangle$,  
L2 $\displaystyle \cap$ Py162 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X4, X28, X3, X7$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ L2 $\displaystyle \cap$ Py152,  
N16 $\displaystyle \equiv$ P2 $\displaystyle \cap$ Py162 = (U2 $\displaystyle \cap$ Py162) : (L2 $\displaystyle \cap$ Py162).  

Из соотношений (*) и (**) следует, что подгруппа U2 $ \cap$ Py162 изоморфна ps . p6s x p2s при p $ \neq$ 2 и 2s . 24s x 24s при p = 2. Вычисляем n16 $ \equiv$ | P2 : N16| = $ {\frac{q^{11}(q^3-1)}{(q-1)}}$. Несложно проверить, что n - 1 = $ \sum_{i=1}^{16}$ni, поэтому n17 = 1, N17 = P2 и ранг представления равен 17. Рассмотрим далее подстановочное представление группы G на правых смежных классах по другой параболической максимальной подгруппе P3. Согласно разложению Леви P3 = U3L3, где

U3 = $\displaystyle \langle$Xi | 3 $\displaystyle \leq$ i $\displaystyle \leq$ 24, i $\displaystyle \neq$ 4, 5}$\displaystyle \rangle$,

L3 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X2, X26, X4, X28, X5, X29$\displaystyle \rangle$.

Выпишем все нетривиальные коммутаторные соотношения для корневых порождающих подгруппы U3, вытекающие из коммутаторной формулы Шевалле (теорема 5.2.2 из [5]). Если p $ \neq$ 2, то

[x6(u), x3(t)] = x9( $\displaystyle \pm$ 2tu)    (***)
[x8(u), x3(t)] = x11( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x10(u), x3(t)] = x13( $\displaystyle \pm$ tu)
[x12(u), x3(t)] = x15( $\displaystyle \pm$ tu)
[x17(u), x3(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)
[x20(u), x3(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ t2u)x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x21(u), x3(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x7(u), x6(t)] = x13( $\displaystyle \pm$ tu)
[x8(u), x6(t)] = x14( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x12(u), x6(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)
[x15(u), x6(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)
[x18(u), x6(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)x23( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x21(u), x6(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x8(u), x7(t)] = x15( $\displaystyle \pm$ tu)
[x10(u), x7(t)] = x16( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x12(u), x7(t)] = x18( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x14(u), x7(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)x22( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x17(u), x7(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x19(u), x7(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x10(u), x8(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)
[x13(u), x8(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)
[x16(u), x8(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)x24( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x21(u), x8(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x12(u), x9(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)x24( $\displaystyle \pm$ tu2)
[x18(u), x9(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ tu)
[x20(u), x9(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ tu)
[x11(u), x10(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)x23( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x12(u), x10(t)] = x20( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x15(u), x10(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x19(u), x10(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x16(u), x11(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ tu)
[x20(u), x11(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ tu)
[x13(u), x12(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x19(u), x12(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x15(u), x13(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x17(u), x13(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ 2tu)
[x16(u), x14(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ tu)
[x18(u), x14(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ tu)
[x17(u), x15(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ 2tu).

При p = 2 имеем

[x10(u), x3(t)] = x13( $\displaystyle \pm$ tu)    (****)
[x12(u), x3(t)] = x15( $\displaystyle \pm$ tu)
[x17(u), x3(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)
[x20(u), x3(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ t2u)x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x7(u), x6(t)] = x13( $\displaystyle \pm$ tu)
[x12(u), x6(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)
[x15(u), x6(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)
[x18(u), x6(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)x23( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x8(u), x7(t)] = x15( $\displaystyle \pm$ tu)
[x14(u), x7(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)x22( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x17(u), x7(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x10(u), x8(t)] = x17( $\displaystyle \pm$ tu)
[x13(u), x8(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)
[x16(u), x8(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)x24( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x12(u), x9(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)x24( $\displaystyle \pm$ tu2)
[x18(u), x9(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ tu)
[x20(u), x9(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ tu)
[x11(u), x10(t)] = x19( $\displaystyle \pm$ tu)x23( $\displaystyle \pm$ t2u)
[x15(u), x10(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x16(u), x11(t)] = x22( $\displaystyle \pm$ tu)
[x20(u), x11(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ tu)
[x13(u), x12(t)] = x21( $\displaystyle \pm$ tu)
[x16(u), x14(t)] = x23( $\displaystyle \pm$ tu)
[x18(u), x14(t)] = x24( $\displaystyle \pm$ tu).

Из этих соотношений следует, что подгруппа U3 изоморфна p3s . (p2s . (p9s . p6s)) при p $ \neq$ 2 и 25s . (23s . 26s x 26s) при p = 2. Рассмотрим подгруппу L3. Заметим, что $ \langle$hp4(t) | t $ \in$ K * $ \rangle$ $ \leq$ $ \langle$X4, X28$ \rangle$ $ \cong$ SL2(q) и $ \langle$hp1(t), hp2(u) | t, u $ \in$ K * $ \rangle$ $ \leq$ $ \langle$X1, X25, X2, X26, X5, X29$ \rangle$ $ \cong$ SL3(q) и поэтому

L3 = Op'(L3) : $\displaystyle \langle$hp3(t) | t $\displaystyle \in$ K * $\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ (SL2(q) x SL3(q)) : (q - 1).

Элемент z1 = y1 из W переводит каждый положительный корень в противоположный, поэтому подгруппа М1 = P3 $ \cap$ Pz13 равна L3 и подстепень m1 = | P : M1| равна | U3| = q20. Рассмотрим элемент z2 = w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(2, 9)(3, 27)(4, 7)(5, 11)(10, 13)(12, 15)(17, 19)(20, 22)

(26, 33)(28, 31)(29, 35)(34, 37)(36, 39)(41, 43)(44, 46).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz23 = $\displaystyle \langle$Xi | 6 $\displaystyle \leq$ i $\displaystyle \leq$ 24$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz23 = $\displaystyle \langle$H, X1, X2, X4, X5, X25$\displaystyle \rangle$,  
M2 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz23 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz23) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz23).  

Используя соотношения (***) и (****), которые не содержат x3(t), получаем, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz23 изоморфна p3s . (p3s . (p6s . p5s x p2s)) при p $ \neq$ 2 и 25s . (23s . 25s x 26s) при p = 2. Подгруппа $ \langle$X1, X25$ \rangle$ из L3 $ \cap$ Pz23 изоморфна SL2(q), а $ \langle$X2, X4, X5$ \rangle$ изоморфна p3s и поэтому

L3 $\displaystyle \cap$ Pz23 $\displaystyle \cong$ p3s : (SL2(q) : (q - 1)3).

Заметим, что скалярные произведения (p1 + 2p2 + 2p3, p1), (p3, p1), (p4, p1) равны нулю и поэтому из леммы 20 из § 3 книги [7] следует, что элементы hp3(t) = h3(t), hp4(t) = h4(t), hp1 + 2p2 + 2p3(t) = h14(t) централизуют подгруппу $ \langle$X1, X25$ \rangle$ при любом t из K * . Кроме того, h14(t) = h1(t)h2(t2)h3(t) и поэтому h(t) = h14(t)h3(t-1) = h1(t)h2(t2) $ \in$ $ \langle$X1, X25$ \rangle$ тогда и только тогда, когда t2 = 1. Получаем

L3 $\displaystyle \cap$ Pz23 $\displaystyle \cong$ p3s : (d . (PSL2(q) x (q - 1)/d ) x (q - 1)2) . d

и

m2 $\displaystyle \equiv$ | P3 : M2| = n2,

где d = (2, q - 1). Рассмотрим элемент z3 = w2w1w4w3w2w1w3w2w4 из W, который действует на корнях следующим образом:

(2, 42)(3, 21)(4, 41)(5, 40)(9, 23)(10, 36)(11, 24)(12, 34)

(16, 29)(17, 28)(18, 26)(20, 44)(27, 45)(33, 47)(35, 48).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz33 = $\displaystyle \langle$Xi | 3 $\displaystyle \leq$ i $\displaystyle \leq$ 24, i $\displaystyle \neq$ 4, 5, 10, 12, 20$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz33 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X26, X28, X29$\displaystyle \rangle$,  
M3 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz33 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz33) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz33).  

Заметим, что L3 $ \cap$ Pz33 $ \cong$ L3 $ \cap$ Pz23 $ \cong$ L2 $ \cap$ Py22. Из соотношений (***) и (****) следует, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz33 изоморфна p3s . (p4s . (p3s . p3s x p4s)) при p $ \neq$ 2 и 25s . (22s . 23s x 27s) при p = 2. Получаем m3 $ \equiv$ | P3 : M3| = n3. Рассмотрим элемент z4 = w1w2w4w3w2w1w3w2w4w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 42, 22, 5, 25, 18, 46, 29)(2, 16, 33, 48, 26, 40, 9, 24)

(3, 8, 6, 21, 27, 32, 30, 45)(4, 43, 41, 34, 28, 19, 17, 10)

(7, 37, 36, 15, 31, 13, 12, 39)(11, 14, 23, 20, 35, 38, 47, 44).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz43 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {6, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz43 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X2, X4, X5$\displaystyle \rangle$ = L3 $\displaystyle \cap$ Pz23  
M4 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz43 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz43) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz43).  

Из соотношений (***) и (****) следует, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz43 изоморфна p4s . (p2s . p4s x p3s) при p $ \neq$ 2 и 24s . 27s x 22s при p = 2. Получаем m4 $ \equiv$ | P3 : M4| = n4. Рассмотрим элемент z5 = w1w3w2w1w4w3w2w1w3w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 25)(2, 24, 16, 26, 48, 40)(3, 43, 28, 27, 19, 4)(5, 23, 18, 29, 47, 42)

(6, 12, 13, 30, 36, 37)(7, 41, 45, 31, 17, 21)(8, 10, 15, 32, 34, 39)

(9, 33)(11, 35)(14, 20, 22, 38, 44, 46).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz53 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {3, 7, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 23, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz53 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X4, X26, X29$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ L3 $\displaystyle \cap$ Pz23,  
M5 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz53 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz53) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz53).  

Из соотношений (***) и (****) следует что подгруппа U3 $ \cap$ Pz53 изоморфна p3s . (ps . (p3s . p3s) x ps) x p2s при p $ \neq$ 2 и 22s . (22s . 23s x 2s) x 25s при p = 2. Заметим, что | U3 $ \cap$ Pz53| = | U3 $ \cap$ Pz43| и m5 = m4, хотя подгруппы U3 $ \cap$ Pz53 и U3 $ \cap$ Pz43 неизоморфны. Рассмотрим элемент z6 = w1w3w2w3w4w3w2w1w3w2w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 47, 44, 42, 14, 5)(2, 24, 33, 26, 48, 9)(3, 39, 19, 27, 15, 43)(4, 7, 32, 13, 10, 21)

(6, 17, 12, 30, 41, 36)(8, 37, 34, 45, 28, 31)(11, 46)(18, 38, 29, 25, 23, 20)(22, 35).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz63 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {7, 10, 12, 16, 17, 18, 20, 21, 23, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz63 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X2, X4, X5$\displaystyle \rangle$ = L3 $\displaystyle \cap$ Pz23,  
M6 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz63 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz63) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz63).  

Из соотношений (***) и (****) следует, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz63 изоморфна p4s . p4s x p2s при p $ \neq$ 2 и 2s . 22s x 27s при p = 2. Вычисляем m6 = | P3 : M6| = $ {\frac{q^{10}(q^3-1)(q+1)}{(q-1)}}$ = n6. Рассмотрим элемент z7 = w2w3w2w1w3w2w3w4w3w2w1w3w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 11, 44, 42, 46, 5)(2, 33, 24, 26, 9, 48)(3, 36, 39, 27, 12, 15)(4, 21, 7, 13, 32, 10)

(6, 43, 17, 30, 19, 41)(8, 34, 28, 45, 31, 37)(14, 47)(18, 22, 29, 25, 35, 20)(23, 38).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz73 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {3, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 21, 22}$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz73 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X4, X26, X29$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ L3 $\displaystyle \cap$ Pz23,  
M7 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz73 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz73) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz73).  

Из соотношений (***) и (****) следует, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz73 изоморфна ps . p8s x ps при p $ \neq$ 2 и 2s . 24s x 25s при p = 2. Вычисляем m7 $ \equiv$ | P3 : M7| = $ {\frac{q^{10}(q^3-1)(q+1)}{(q-1)}}$ = n7. Отметим, что L3 $ \cap$ Pz73 $ \cong$ L3 $ \cap$ Pz63, но подгруппы U3 $ \cap$ Pz73 и U3 $ \cap$ Pz63 неизоморфны, хотя | U3 $ \cap$ Pz73| = | U3 $ \cap$ Pz63|. Поэтому P3 $ \cap$ Pz73 и P3 $ \cap$ Pz63 неизоморфны. Рассмотрим элемент z8 = w1w3w2w1w3w2w3w4w3w2w1w3w2w4w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 25)(2, 18)(3, 45)(4, 17)(5, 16)(6, 30)(7, 31)(8, 32)(9, 47)(10, 12)

(11, 48)(13, 37)(14, 38)(15, 39)(19, 43)(21, 27)(22, 46)(23, 33)

(24, 35)(26, 42)(28, 41)(29, 40)(34, 36).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz83 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {10, 12, 16, 17, 18, 20}$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz83 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X2, X4, X5$\displaystyle \rangle$ = L3 $\displaystyle \cap$ Pz23,  
M8 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz83 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz83) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz83).  

Имеется одно соотношение в подгруппе U3 $ \cap$ Pz83: [x12(u), x10(t)] = x20( $ \pm$ 2tu), поэтому для p $ \neq$ 2

U3 $\displaystyle \cap$ Pz83 $\displaystyle \cong$ ps . p2s x p3s.

Если p = 2, то U3 $ \cap$ Pz83 $ \cong$ 26s Вычисляем m8 $ \equiv$ | P3 : M8| = $ {\frac{q^{14}(q^3-1)(q+1)}{(q-1)}}$ = n8. Рассмотрим элемент

z9 = w1w3w2w1w3w2w4w3w2w1w3w2w3w4w3w2w1w3w2

из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 40, 5)(2, 18, 44)(3, 39, 21, 41, 6, 4)(7, 36, 10)(8, 37)

(9, 35, 22, 48, 23, 38)(11, 46, 24, 47, 14, 33)(12, 34, 31)

(13, 32)(15, 45, 17, 30, 28, 27)(16, 29, 25)(19, 43)(20, 26, 42).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz93 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {3, 7, 16, 18}$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ p4s,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz93 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X4, X26, X29$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ L3 $\displaystyle \cap$ Pz23,  
M9 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz93 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz93) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz93).  

Вычисляем m9 $ \equiv$ | P3 : M9| = $ {\frac{q^{16}(q^3-1)(q+1)}{(q-1)}}$ = n9. Рассмотрим элемент z10 = w1w2w3w4w3w2w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 46, 44, 25, 22, 20)(2, 11)(3, 10, 15, 27, 34, 39)(4, 30, 43, 41, 32, 7)

(5, 40, 42, 9, 23, 24)(6, 19, 17, 8, 31, 28)(12, 37, 45, 36, 13, 21)

(16, 18, 33, 47, 48, 29)(26, 35).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz103 = $\displaystyle \langle$Xi | 6 $\displaystyle \leq$ i $\displaystyle \leq$ 24, i $\displaystyle \neq$ 7, 9, 13$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz103 = $\displaystyle \langle$H, X1, X2, X4, X5$\displaystyle \rangle$,  
M10 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz103 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz103) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz103).  

Из соотношений (***) и (****) следует, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz103 изоморфна p3s . (p5s . p8s) при p $ \neq$ 2 и 26s . 210s при p = 2. Подгруппа $ \langle$X1, X2, X4, X5$ \rangle$ из L3 $ \cap$ Pz103 имеет единственное соотношение [x1(u), x2(t)] = x5( $ \pm$ tu), поэтому $ \langle$X1, X2, X4, X5$ \rangle$ $ \cong$ ps . p2s x ps для любого p и

L3 $\displaystyle \cap$ Pz103 $\displaystyle \cong$ (ps . p2s x ps) : (q - 1)4 $\displaystyle \cong$ L2 $\displaystyle \cap$ Py102.

Получаем m10 $ \equiv$ | P3 : M10| = n10. Рассмотрим элемент z11 = w1w3w2w1w3w4w3w2w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 40, 42, 25, 16, 18)(2, 23, 20, 24, 5, 14)(3, 43)(4, 15, 37, 28, 39, 13)

(6, 10, 21, 12, 8, 31)(7, 30, 34, 45, 36, 32)(9, 35, 22, 33, 11, 46)

(19, 27)(26, 47, 44, 48, 29, 38).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz113 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 23, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz113 = $\displaystyle \langle$H, X1, X2, X4, X5$\displaystyle \rangle$ = L3 $\displaystyle \cap$ Pz103,  
M11 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz113 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz113) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz113).  

Из соотношений (***) и (****) следует, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz113 изоморфна p3s . (p2s . p4s x p3s) при p $ \neq$ 2 и 24s . 26s x 22s при p = 2. Вычисляем m11 $ \equiv$ | P3 : M11| = $ {\frac{q^8(q^3-1)(q+1)^2}{(q-1)}}$ = n11. Рассмотрим элемент z12 = w1w3w2w1w3w4w3w2w1w3w2w4w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 38, 25, 14)(2, 24, 33, 16)(3, 45)(4, 10, 17, 12)(5, 18, 35, 23)(6, 8, 30, 32)

(7, 39, 19, 37)(9, 40, 26, 48)(11, 47, 29, 42)(13, 31, 15, 43)(21, 27)

(22, 46)(28, 34, 41, 36).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz123 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {8, 10, 12, 14, 17, 18, 20, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz123 = $\displaystyle \langle$H, X1, X2, X4, X5$\displaystyle \rangle$ = L3 $\displaystyle \cap$ Pz103,  
M12 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz123 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz123) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz123).  

Из соотношений (***) и (****) следует, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz123 изоморфна p3s . p5s при p $ \neq$ 2 и 22s . 24s x 22s при p = 2. Вычисляем m12 $ \equiv$ | P3 : M12| = $ {\frac{q^{12}(q^3-1)(q+1)^2}{(q-1)}}$ = n12. Рассмотрим элемент z13 = w3w2w1w3w2w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 2)(3, 32)(4, 19)(6, 30)(7, 13)(8, 27)(9, 38)(10, 15)(11, 35)

(12, 17)(14, 33)(16, 22)(18, 23)(20, 24)(25, 26)(28, 43)

(31, 37)(34, 39)(36, 41)(40, 46)(42, 47)(44, 48).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz133 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {7, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz13 = $\displaystyle \langle$H, X1, X2, X5, X25, X26, X29, X4$\displaystyle \rangle$  
M13 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz133 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz133) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz133).  

Из соотношений (***) и (****) следует, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz133 изоморфна p7s . p7s при p $ \neq$ 2 и 2s . 26s x 27s при p = 2. Подгруппа L'3 = $ \langle$X1, X2, X5, X25, X26, X29$ \rangle$ из L3 $ \cap$ Pz133 изоморфна SL3(q), а $ \langle$X4$ \rangle$ $ \cong$ ps, поэтому L3 $ \cap$ Pz133 $ \cong$ ps : (SL3(q) : (q - 1)2). Заметим, что (p4, p1) = (p4, p2) = (p1 + 2p2 + 3p3 + p4, p1) = (p1 + 2p2 + 3p3 + p4, p2) = 0, поэтому элементы hp4(t) и h19(t) = hp1(t2)hp2(t4)hp3(t3)hp4(t) централизуют L'3 при любом t из K * . Элемент h(t) = h19(t)hp4(t-1) = hp1(t2)hp2(t4)hp3(t3) также централизует L'3 и h(t) лежит в L'3 тогда и только тогда, когда t3 = 1. Получаем L3 $ \cap$ Pz133 $ \cong$ ps : (c . (PSL3(q) x (q - 1)/c) x (q - 1)) . c, где с = (3, q - 1). Имеем m13 $ \equiv$ | P3 : M13| = $ {\frac{q^6(q^2-1)}{(q-1)}}$ = n13. Рассмотрим элемент z14 = w1w3w2w1w3w2w3w4w3w2w1w3w2w3w4 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 25)(2, 5)(3, 41, 7)(4, 19, 45)(6, 37, 10, 8, 39, 12)(9, 47, 16, 11, 48, 18)

(13, 34, 32, 15, 36, 30)(14, 46, 20)(17, 31, 27)(21, 28, 43)(22, 44, 38)

(23, 40, 35, 24, 42, 33)(26, 29).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz143 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {3, 6, 8, 9, 11, 14, 19}$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz143 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X2, X26, X5, X29, X28$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ L3 $\displaystyle \cap$ Pz133,  
M14 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz143 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz143) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz143).  

Из соотношений (***) и (****) следует, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz143 изоморфна p3s . p3s x ps при p $ \neq$ 2 и 27s при p = 2. Вычисляем m14 $ \equiv$ | P3 : M14| = $ {\frac{q^{13}(q^2-1)}{(q-1)}}$ = n14. Рассмотрим элемент z15 = w1w3w2w3w4w3w2w1w3w2 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 47, 46, 5)(2, 24, 26, 48)(3, 36, 6, 19)(7, 32, 10, 21)(8, 34, 45, 31)(11, 44, 42, 14)

(12, 30, 43, 27)(15, 41, 39, 17)(18, 38, 35, 20)(22, 29, 25, 23).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz153 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {3, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz153 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X4, X28, X26, X29$\displaystyle \rangle$,  
M15 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz153 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz153) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz153).  

Отметим, что $ \langle$X1, X25$ \rangle$ $ \cong$ $ \langle$X4, X28$ \rangle$ $ \cong$ SL2(q) и $ \langle$X26, X29$ \rangle$ $ \cong$ p2s, и можно показать, что L3 $ \cap$ Pz153 $ \cong$ L2 $ \cap$ Py152 Из соотношений (***) и (****) следует, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz153 изоморфна ps . p10s x p2s при p $ \neq$ 2 и 2s . 24s x 28s при p = 2. Вычисляем m15 $ \equiv$ | P3 : M15| = $ {\frac{q^{7}(q^3-1)}{(q-1)}}$ = n15. Рассмотрим элемент z16 = w1w3w2w1w4w3w2w1w3w2w3w4w3 из W, который действует на корнях следующим образом:

(1, 25)(2, 24)(3, 43)(4, 28)(5, 23)(6, 12)(7, 45)(8, 10)

(9, 33)(11, 35)(13, 37)(14, 20)(15, 39)(16, 40)(18, 42)

(19, 27)(21, 31)(22, 46)(26, 48)(29, 47)(30, 36)(32, 34)(38, 44).

Тогда
U3 $\displaystyle \cap$ Pz163 = $\displaystyle \langle$Xi | i $\displaystyle \in$ {6, 8, 10, 12, 14, 17, 20, 23, 24}$\displaystyle \rangle$,  
L3 $\displaystyle \cap$ Pz163 = $\displaystyle \langle$H, X1, X25, X4, X28, X2, X5$\displaystyle \rangle$ $\displaystyle \cong$ L3 $\displaystyle \cap$ Pz153,  
M16 $\displaystyle \equiv$ P3 $\displaystyle \cap$ Pz163 = (U3 $\displaystyle \cap$ Pz163) : (L3 $\displaystyle \cap$ Pz163).  

Из соотношений (***) и (****) следует, что подгруппа U3 $ \cap$ Pz163 изоморфна p3s . p4s x p2s при p $ \neq$ 2 и 2s . 24s x 24s при p = 2. Вычисляем m16 $ \equiv$ | P3 : M16| = $ {\frac{q^{11}(q^3-1)}{(q-1)}}$ = n16. Имеем m17 = 1 и ранг представления группы G на правых смежных классах по подгруппе P3 равен 17. Обозначим

S1 = 2 . (PSL2(q) x (q - 1)/2) x (q - 1)2) . 2

S2 = c . (PSL3(q) x (q - 1)/c) x (q - 1)) . c, c = (3, q - 1),

S3 = 2 . (PSL2(q) x (q - 1)/2) . 2 x 2 . (PSL2(q) x (q - 1)/2) . 2.

Тогда справедлива Теорема. Для групп F4(q), q = ps, степень n, подстепени ni и двойные стабилизаторы Ni подстановочных представлений на правых смежных классах по параболическим максимальным подгруппам P2 или P3 неминимального индекса содержатся в следующем списке:
1.
n = (q12 - 1)(q4 + 1)(q3 + 1)(q2 + 1)/(q - 1);
2.
n1 = q20, n2 = q(q3 - 1)(q + 1)/(q - 1), n3 = q3(q3 - 1)(q + 1)/(q - 1), n4 = q7(q3 - 1)(q + 1)/(q - 1), n5 = q7(q3 - 1)(q + 1)/(q - 1), n6 = q10(q3 - 1)(q + 1)/(q - 1), n7 = q10(q3 - 1)(q + 1)/(q - 1), n8 = q14(q3 - 1)(q + 1)/(q - 1), n9 = q16(q3 - 1)(q + 1)/(q - 1), n10 = q4(q3 - 1)(q + 1)2/(q - 1), n11 = q8(q3 - 1)(q + 1)2/(q - 1), n12 = q12(q3 - 1)(q + 1)2/(q - 1), n13 = q6(q2 - 1)/(q - 1), n14 = q13(q2 - 1)/(q - 1), n15 = q7(q3 - 1)/(q - 1), n16 = q11(q3 - 1)/(q - 1), n17 = 1,
3.
Если p = 2, то
N1 $\displaystyle \cong$ (SL2(q) x SL3(q)) : (q - 1),  
N2 $\displaystyle \cong$ (25s . (23s . 25s x 26s)) : (23s : (SL2(q) x (q - 1)3)),  
N3 $\displaystyle \cong$ (25s . (22s . 23s x 27s)) : (23s : (SL2(q) x (q - 1)3)),  
N4 $\displaystyle \cong$ (24s . 27s x 22s) : (23s : (SL2(q) x (q - 1)3)),  
N5 $\displaystyle \cong$ (22s . (22s . 23s x 2s) x 25s) : (23s : (SL2(q) x (q - 1)3)),  
N6 $\displaystyle \cong$ (2s . 22s x 27s) : (23s : (SL2(q) x (q - 1)3)),  
N7 $\displaystyle \cong$ (2s . 24s x 25s) : (23s : (SL2(q) x (q - 1)3)),  
N8 $\displaystyle \cong$ 26s : (23s : (SL2(q) x (q - 1)3)),  
N9 $\displaystyle \cong$ 24s : (23s : (SL2(q) x (q - 1)3)),  
N10 $\displaystyle \cong$ (26s . 210s) : ((2s . 22s x 2s) : (q - 1)4),  
N11 $\displaystyle \cong$ (24s . 26s x 22s) : ((2s . 22s x 2s) : (q - 1)4),  
N12 $\displaystyle \cong$ (22s . 24s x 22s) : ((2s . 22s x 2s) : (q - 1)4),  
N13 $\displaystyle \cong$ (2s . 26s x 27s) : (2s : S2),  
N14 $\displaystyle \cong$ 27s : (2s : S2),  
N15 $\displaystyle \cong$ (2s . 24s x 28s) : (22s : (SL2(q) x SL2(q) x (q - 1)2)),  
N16 $\displaystyle \cong$ (2s . 24s x 24s) : (22s : (SL2(q) x SL2(q) x (q - 1)2)),  
N17 $\displaystyle \cong$ (25s . (23s . 26s x 26s)) : ((SL2(q) x SL3(q)) : (q - 1)).  

4.
Если p $ \neq$ 2, то для P2 имеем
N1 $\displaystyle \cong$ (SL2(q) x SL3(q)) : (q - 1),  
N2 $\displaystyle \cong$ (p2s . (p6s . p11s)) : (p3s : S1),  
N3 $\displaystyle \cong$ (p2s . (p5s . p8s x p2s)) : (p3s : S1),  
N4 $\displaystyle \cong$ (p2s . (p2s . p5s x p3s) x ps) : (p3s : S1),  
N5 $\displaystyle \cong$ (ps . (p3s . p4s x p4s) x ps) : (p3s : S1),  
N6 $\displaystyle \cong$ (ps . p6s x p3s) : (p3s : S1),  
N7 $\displaystyle \cong$ (p3s . p4s x p3s) : (p3s : S1),  
N8 $\displaystyle \cong$ p6s : (p3s : S1),  
N9 $\displaystyle \cong$ p4s : (p3s : S1),  
N10 $\displaystyle \cong$ (p3s . (p4s . p8s x ps)) : ((ps . p2s x ps) : (q - 1)4),  
N11 $\displaystyle \cong$ (p2s . (p2s . p4s x p3s) x ps) : ((ps . p2s x ps) : (q - 1)4),  
N12 $\displaystyle \cong$ (p2s . p5s x ps) : ((ps . p2s x ps) : (q - 1)4),  
N13 $\displaystyle \cong$ (ps . p12s x ps) : (ps : S2),  
N14 $\displaystyle \cong$ p7s : (ps : S2),  
N15 $\displaystyle \cong$ (p5s . p6s x p2s) : (p2s : S3),  
N16 $\displaystyle \cong$ (ps . p6s x p2s) : (p2s : S3),  
N17 $\displaystyle \cong$ (p2s . (p6s . p12s)) : ((SL2(q) x SL3(q)) : (q - 1)),  

а для P3 имеем
N1 $\displaystyle \cong$ (SL2(q) x SL3(q)) : (q - 1),  
N2 $\displaystyle \cong$ (p3s . (p3s . (p6s . p5s x p2s))) : (p3s : S1),  
N3 $\displaystyle \cong$ (p3s . (p4s . (p3s . p3s x p4s)) : (p3s : S1),  
N4 $\displaystyle \cong$ (p4s . (p2s . p4s x p3s)) : (p3s : S1),  
N5 $\displaystyle \cong$ (p3s . (ps . (p3s . p3s) x ps) x p2s) : (p3s : S1),  
N6 $\displaystyle \cong$ (p4s . p4s x p2s) : (p3s : S1),  
N7 $\displaystyle \cong$ (ps . p8s x ps) : (p3s : S1),  
N8 $\displaystyle \cong$ (ps . p2s x p3s) : (p3s : S1),  
N9 $\displaystyle \cong$ p4s : (p3s : S1),  
N10 $\displaystyle \cong$ (p3s . (p5s . p8s)) : ((ps . p2s x ps) : (q - 1)4),  
N11 $\displaystyle \cong$ (p3s . (p2s . p4s x p3s)) : ((ps . p2s x ps) : (q - 1)4),  
N12 $\displaystyle \cong$ (p3s . p5s) : ((ps . p2s x ps) : (q - 1)4),  
N13 $\displaystyle \cong$ (p7s . p7s) : (ps : S2),  
N14 $\displaystyle \cong$ (p3s . p3s x ps) : (ps : S2),  
N15 $\displaystyle \cong$ (ps . p10s x p2s) : (p2s : S3),  
N16 $\displaystyle \cong$ (p3s . p4s x p2s) : (p2s : S3),  
N17 $\displaystyle \cong$ (p3s . (p2s . (p9s . p6s))) : ((SL2(q) x SL3(q)) : (q - 1)).  

Ранг представления равен 17.
З а м е ч а н и е 1. Порядки двойных стабилизаторов N4 = (U2 $ \cap$ Py42) : (L2 $ \cap$ Py42) и N5 = (U2 $ \cap$ Py52) : (L2 $ \cap$ Py52) равны и L2 $ \cap$ Py52 $ \cong$ L2 $ \cap$ Py42, но U2 $ \cap$ Py42 и U2 $ \cap$ Py52 неизоморфны, поэтому N4 и N5 неизоморфны. Это же справедливо и для стабилизаторов N6 и N7, M4 и M5, M6 и M7 соответсвенно.
З а м е ч а н и е 2. Заметим, что если p = 2, то представления группы G на правых смежных классах по подгруппам P2 и P3 подобны, потому что согласно предложению 12.3.3 из [5] существует графовый автоморфизм группы G, отображающий P2 в P3.



Поступило 22.11.97