РЯД МАКЛОРЕНА ФУНКЦИИ СЕГЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО
ВЕСА, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕГО УСЛОВИЮ ДИНИ,
РАВНОМЕРНО СХОДИТСЯ В ЗАМКНУТОМ ЕДИНИЧНОМ
КРУГЕ¹

В. М. Бадков

Аннотация:

Методами теории ортогональных многочленов доказывается теорема, описанная в названии статьи.

Р.Салем [1] (см. также [2, стр. 323]) привел пример функции F, принадлежащей пространству ${\bf C}_{2\pi}\,\,\,2\pi$-периодических непрерывных функций, такой, что ряд Фурье от F равномерно сходится на $[-\pi,\pi],$ а ряд Фурье от F² расходится на множестве мощности континуума. Этот пример показывает, что композиция $G(F(\tau)),$ где G - целая функция, вообще говоря, не наследует свойство равномерной сходимости ряда Фурье функции F. Пусть ${\bf U}$ - множество аналитических в круге ${\bf D}:=\{z:\vert z\vert<1 \}$ функций с равномерно сходящимися в замкнутом круге ${\bf D}$ рядами Маклорена. Отвечая на вопрос Р.Салема: существует ли $f\in {\bf U},$ для которой $f^2 \notin {\bf U},$ Ж.-П.Кахан и И.Кацнельсон [3] доказали существование такой функции f. Таким образом, если G - целая функция, а $f\in {\bf U},$ то, вообще говоря, $G(f)\notin {\bf U}.$ В связи с этим интересно было бы знать, для каких целых функций G и функций f из соответствующих G подмножеств множества ${\bf U}$ композиция $G(f)\in {\bf U}.$ Следующая теорема, являющаяся основным результатом этой статьи, может рассматриваться в качестве первого шага в решении поставленной проблемы.
Теорема 1.Пусть (строго) положительный вес $h\in {\bf C}_{2\pi},$ а его (равномерный) модуль непрерывности $\omega (h;\delta)$ удовлетворяет условию Дини

$$\int\limits_0^{\pi}\,\omega (h;\tau) \tau^{-1}\,d\tau <\infty. \eqno (1)$$

Тогда ряд Маклорена функции Сеге

$$\pi(h;z):=\exp \left\{ -\frac1{4\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\... ...-z}\ln\, h(\tau)\,d\tau \right\} \ (\vert z\vert<1) \eqno (2)$$

равномерно сходится в замкнутом единичном круге ${\bf D}.$ Доказательству этой теоремы предпошлем несколько замечаний.
З а м е ч а н и е 1. Хорошо известно [4, стр. 268], что равномерно сходящийся на окружности ${\bf\Gamma}_1:=\{ z:\vert z\vert=1 \}$ ряд, составленный из аналитических в ${\bf D}$ и непрерывных в $\overline {\bf D}$ функций, равномерно сходится в $\overline {\bf D}.$ Поэтому для доказательства теоремы 1 достаточно доказать равномерную сходимость рассматриваемого в ней ряда Маклорена функции Сеге (2) на окружности ${\bf\Gamma}_1.$
З а м е ч а н и е 2. В работе [5] автором была установлена равномерная сходимость на ${\bf\Gamma}_1$ некоторой подпоследовательности сумм Маклорена функции (2) в условиях теоремы 1.
З а м е ч а н и е 3. Теорема 1 дает пример "хорошей" композиции G(f(z)), где $G(\zeta)=e^{\zeta},\,\, f(z)=\ln \pi (h;z),$ наследующей равномерную сходимость ряда Маклорена от f на ${\bf\Gamma}_1.$ Равномерная сходимость на ${\bf\Gamma}_1$ ряда Маклорена функции f указанного вида следует из того, что функция $F(\theta):=\mbox{Ref}(e^{i\theta}),$ как известно [6, стр.  25] совпадающая почти всюду с $-2^{-1}\ln h(\theta),$ а потому в силу (1) удовлетворяющая условию Дини $\int\limits_0^{\pi}\omega(F;\tau)\tau^{-1}\,d\tau<\infty,$ влекущему выполнимость условия Дини-Липшица

$$\omega(F;\delta)\ln \delta =o(1)\ (\delta \in +0), \eqno (3)$$

поскольку

$$0\le \frac12 \omega (F;\delta) \ln \frac1{\delta}\le \int\li... ...{\delta}}\, \omega (F;\tau)\tau^{-1} \,d\tau \ (0<\delta<1).$$

Условие (3), как известно [2, стр. 280], гарантирует равномерную сходимость ряда Фурье функции F. Так как F удовлетворяет условию Дини, то для сопряженной функции $\widetilde F$ выполнено условие $\omega (\widetilde F;\delta)\to 0\enskip(\delta \to +0)$ (см. [7, стр. 199, 200]), т.е. $\widetilde F \in {\bf C}_{2\pi}.$ Условия $F\in {\bf C}_{2\pi}, \,\, \widetilde F \in {\bf C}_{2\pi}$ и равномерная сходимость рядя Фурье функции F влекут равномерную сходимость ряда Фурье сопряженной функции $\widetilde F$ (см. [2, стр. 592]), а следовательно, в силу соотношения $f(e^{i\theta})=F(\theta)+i \widetilde F(\theta),$ и равномерную сходимость на ${\bf\Gamma}_1$ ряда Маклорена функции f. Докажем теперь равномерную сходимость на ${\bf\Gamma}_1$ ряда Маклорена функции (2) в условиях теоремы 1. Отсюда в силу замечания 1 будет немедленно следовать справедливость этой теоремы. Пусть $\{ h_n(z)\}_{n=0}^{\infty}$ - система алгебраических многочленов, ортонормированная на ${\bf\Gamma}_1$ с весом h. Положим

$$\delta_n(h):=\inf_{Q_n} \Vert [\pi(h;e^{i\tau})-Q_n(e^{i\tau})] \sqrt{h(\tau)}\Vert _2, \eqno (4)$$

где Q_n - алгебраический многочлен степени не выше n.

$$\Vert F\Vert _2:=\left\{ \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\,\vert F(\tau)\vert^2\,d\tau \right\}^{1/2}.$$

Если $\delta_n(h)=0$ хотя бы для одного значения n, например, для n=m, где $m\in {\Bbb Z}_+:=\{ 0,1,2,\ldots \},$ то (см. [6, стр. 26])

$$\pi(h;e^{i\tau})=\kappa_m(h)[\pi(h;0)]^{-1}h_m^*(e^{i\tau}),$$

где $\kappa_n(h)$ - старший коэффициент многочлена h_n, а

$$h_n^*(z):=z^n \overline {h_n(\overline z^{-1})}. \eqno (5)$$

В этом случае доказываемое утверждение является очевидным. Пусть теперь $\delta_n(h)\ne 0,\enskip n\in \Bbb Z_+.$ Положим $\nu_0:=0$ и определим рекуррентно последовательность чисел $\nu_n$ по формуле

$$\nu_n:= \min \{1+[\delta_n^{-1/2}(h)],\,\, 1+\nu_{n-1} \}\ (n\in \Bbb{N}:={1,2,3,\ldots}). \eqno(6)$$

Тогда $\nu_n$ не убывает, ибо $\nu_0=0<1=\nu_1$ и, допустив, что $\nu_{n-1}\le \nu_n,$ в силу (6) и невозрастания $\delta_n(h)$ (см. (4)) имеем неравенства

$$1+[\delta_{n+1}^{-1/2}(h)]\ge 1+[\delta_n^{-1/2}(h)], \ 1+\nu_n\ge 1+\nu_{n-1}$$

и, следовательно, $\nu_{n+1}\ge \nu_n.$ Так как $\nu_n\in \Bbb{Z}_+,\,\, \nu_n \uparrow$ и $\nu_1=1,$ то

$$\nu_n \in \Bbb{N} (n \in \Bbb{N}). \eqno(7)$$

В силу монотонности $\nu_n$ существует конечный или бесконечный $\lim_{n\to \infty}\nu_n.$ Обозначим его через A и докажем, что $A=\infty.$ Действительно, в силу (6) хотя бы одно из равенств $\nu_n=1+[\delta_n^{-1/2}(h)]$ и $\nu_n=1+\nu_{n-1}$ выполняется для бесконечного числа номеров n. В обоих случаях получаем, что $A=\infty,$ в первом - в силу того, что $\delta_n(h)\to 0,$ а во втором - в силу равенства 1+A=A. Докажем, что множество $B:=\{ \nu_n: n\in \Bbb{N}\}$ совпадает с $\Bbb{N}.$ Вложение $B \subset \Bbb{N}$ следует из (7). Так как $\nu_1=1,$ то $1\in B.$ Допустим, что

$$m\in \Bbb{N}, m > 1 \eqno(8)$$

и $m\notin B.$ Тогда из условий $\nu_1=1$ и $\nu_n \uparrow \infty$ следует, что для некоторого $l\in \Bbb N$ выполняются неравенства $\nu_l<m< \nu_{l+1}.$ А тогда в силу (6) $1+\nu_l\ge \nu_{l+1}>m>\nu_l,$ откуда и из (7) получаем, что $m\notin \Bbb N,$ а это противоречит (8). Итак, $B=\Bbb N.$ Разлагая многочлен $h_n(e^{i\theta})$ по системе $\{ e^{i\nu \theta} \}_{\nu=0}^{\infty},$ с учетом ортогональности h_n с весом h многочленам меньшей степени получаем, что

$$h_n(e^{i\theta})=\{ 2\pi h(\theta)\}^{-1}I_1(n,\theta)+I_2(n,\theta), \eqno(9)$$

где

$$\begin{array}{l} I_1(n,\theta):=\int\limits_{\theta-\pi}^{\t... ...n-\nu_n}\,e^{ik(\theta-\tau)}\,d\tau. \end{array} \eqno(10)$$

При $\nu_n=n$ полагаем, $I_1(n,\theta)=0.$ Докажем, что

$$\Vert I_1(n,\cdot)\Vert _{\infty}:=\max_{-\pi \le \theta \le ... ...}\,\vert I_1(n,\theta)\vert \to 0 \ (n\to \infty). \eqno (11)$$

Принимая во внимание вытекающую из (5) формулу

$$h_n^*(e^{i\tau})=e^{in\tau}\overline {h_n(e^{i\tau})}, \eqno(12)$$

получаем, что

$$I_1(n,\theta)=I_3(n,\theta)+I_4(n,\theta)-e^{i(n-\nu_n)\theta} I_4(\nu_n,\theta), \eqno (13)$$

где

$$I_3(n,\theta):=\int\limits_{\theta-\pi}^{\theta+\pi}\,e^{in\t... ...-e^{i(n-\nu_n)(\theta-\tau)}}{1-e^{i(\theta- \tau)}}\,d\tau,$$

$$I_4(n,\theta):=\int\limits_{\theta-\pi}^{\theta+\pi}\,\overli... ...h(\theta)-h(\tau)}{1-e^{i(\theta-\tau)}}e^ {in\tau}\, d\tau.$$

Легко видеть, что

$$\vert I_3(n,\theta)\vert\le C_1(h)\Vert h_n^*(e^{i\tau})-\pi... ...\Vert\omega (h;\tau)\tau^{-1}\Vert _{L^1[0,\pi]}. \eqno (14)$$

Известно, [8],[9], что для веса h, удовлетворяющего условиям теоремы 1

$$\Vert \pi(h;e^{i\tau})-h_n^*(e^{i\tau})\Vert _{\infty}\to 0 \ (n\to \infty). \eqno (15)$$

Из (14)-(15) следует, что

$$\Vert I_3(n,\cdot)\Vert _{\infty}\to 0 \ (n\to \infty). \eqno (16)$$

Принимая во внимание соотношение (см. [6, стр. 25])

$$h(\tau)=\vert \pi(h;e^{i\tau})\vert^{-2}, \eqno (17)$$

после замены переменной $\tau=u+\theta$ получаем формулу

$$\begin{array}{l} e^{-in\theta} I_4(n,\theta):=\int\limits_{-... ...\pi}\, f_2(u+\theta)g(u)e^{inu}\,du, \end{array} \eqno (18)$$

где

$$\begin{array}{l} f_1(u):=\overline {\pi(h;e^{iu})},\ \ \ \ ... ...-iu})^{-1}\chi_{[-\pi,\pi]/(-\delta,\delta)}(u), \end{array}$$

$\chi_E(u)$ - характеристическая функция множества E. Модуль первого из интегралов, входящих в правую часть (18), в силу (17) мажорируется величиной

$$C_2(h)\,\,\int\limits_0^{\delta}\omega(h;\tau)\tau^{-1}\,d\tau,$$

не превосходящей $\varepsilon/2,$ если $\delta>0$ достаточно мало. При $n\to \infty$ и фиксированном $\delta$ второй и третий интегралы равномерно стремятся к нулю, так как $\nu_n \to \infty$ и справедлива следующая Лемма (см. [2, стр. 105]). Если $f\in L^1, g\in L^{\infty},$ то интегралы

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\, f(u+\theta)g(u)\,\cos(nu+k\pi/2)\ (k=0,1)$$

стремятся к нулю при $n\to \infty$ равномерно по $\theta \in [-\pi,\pi].$ Таким образом,

$$\Vert I_4(n,\cdot)\Vert _{\infty}= o(1),\ \ \ \ \Vert I_4(\nu_n,\cdot)\Vert _{\infty}= o(1)\ \ \ (n\to \infty). \eqno (19)$$

Из (13), (16) и (19) вытекает (11). Используя (9), (11), (12), заключаем, что

$$\Vert e^{in\theta}\overline {I_2(n,\theta)}- h_n^*(e^{i\theta})\Vert _{\infty}= o(1) \ (n\to \infty). \eqno (20)$$

С другой стороны, в силу (10) и (12)

$$\begin{array}{l} e^{in\theta}\overline {I_2(n,\theta)}=\frac... ...h;\cdot);e^{i\theta})+I_5(n,\theta), \end{array} \eqno (21)$$

где S_n(f;z) - n-я сумма Маклорена функции f(z),

$$I_5(n,\theta):=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}[h_n^*(e^{... ...;e^{i\tau})]\,\sum_{k=0}^{\nu_n}\,e^{ik(\theta-\tau)}\,d\tau.$$

По неравенству Коши

$$\Vert I_5(n,\cdot)\Vert _{\infty}\le \Vert h_n^*(e^{i\theta})-\pi(h;e^{i\theta})\Vert _2 (1+\nu_n)^{1/2}. \eqno (22)$$

Поскольку $0<h\in {\bf C}_{2\pi}$ и, как известно [6, cтр. 26, 105],

$$\Vert[h_n^*(e^{i\tau})-\pi(h;e^{i\tau})]\sqrt{h(\tau)}\Vert _2 \asymp \delta_n(h)\to 0 \ (n\to \infty),$$

то правая часть (22) есть ${\cal O}(\nu_n^{1/2}\delta_n(h)).$ Эта величина стремится к нулю при $n\to \infty,$ так как в силу (6) по порядку не превосходит $\delta_n^{3/4}(h).$ Из (20)-(22) следует, что

$$\Vert S_{\nu_n}(\pi(h;\cdot);e^{i\theta})-h_n^*(e^{i\theta})\Vert _ {\infty}=o(1)\ (n\to \infty),$$

откуда с учетом (15) вытекает соотношение

$$\Vert S_{\nu_n}(\pi(h;\cdot);e^{i\theta})-\pi(h;e^{i\theta})\Vert _ {\infty}=o(1)\ (n\to \infty). \eqno (23)$$

Выше было показано, что $\{ \nu_n: n\in \Bbb N \}=\Bbb N$ и $\nu_n \uparrow \infty,$ поэтому $\forall k \in \Bbb N \,\, \exists n=n(k)\in \Bbb N$ такое, что $\nu_{n(k)}=k$ (например, можно взять $n(k)=\min \{ n: n\in \Bbb N,\,\, \nu_n=k\}$). Отсюда в силу (23) следует предельное соотношение

$$\Vert S_k(\pi(h;\cdot);e^{i\theta})-\pi(h;\ \ e^{i\theta})\Vert _{\infty} \to 0 \ (k\to \infty),$$

означающее равномерную сходимость на $\Gamma_1$ (а в силу замечания 1 - и на $\overline {\bf D}$) ряда Маклорена функции Сеге (2).



Поступила 6.06.97