О МОМЕНТАХ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ
УПРАВЛЕНИЙ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ
ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

Е.Н. Хайлов

Аннотация:

В работе рассматривается задача оптимального по быстродействию перевода линейной системы со скалярным ограниченным управлением из некоторого начального состояния в конечное, которые отличны от начала координат фазового пространства. Для нее локально исследуется существование некоторой вектор-функции переключений, которая определенным образом характеризует моменты переключения экстремального управления и длительность управляемого процесса, задаваемого им. Это дает возможность строить приближенные методы решения задачи оптимального быстродействия.

В работе рассматривается задача оптимального по быстродействию перевода линейной системы со скалярным, ограниченным по абсолютной величине управлением из некоторого начального состояния в конечное, которые отличны от начала координат фазового пространства. Для такой задачи принцип максимума Понтрягина является лишь необходимым условием оптимальности. Поэтому наряду с оптимальным управлением он определяет и так называемые экстремальные управления. При некоторых предположениях эти управления обладают релейной структурой, а число переключений устанавливает известная теорема Фельдбаума. Конечномерная параметризация множества достижимости исходной системы моментами переключения кусочно-постоянных управлений позволяет локально исследовать существование вектор-функции переключений, которая определенным образом характеризует моменты переключения экстремального управления и длительность управляемого процесса, задаваемого им. Это дает возможность строить приближенные методы решения задачи оптимального быстродействия.

Рассмотрим задачу оптимального быстродействия для линейной управляемой системы:



где A - действительная матрица порядка ; ; .

Под классом допустимых управлений D(T) понимается класс измеримых функций u(t) , удовлетворяющих неравенству

п.в. на [0,T] .

Предположим, что собственные значения матрицы A вещественны и векторы линейно независимы.

Считаем, что для сформулированной задачи (1.1)-(1.3) определено хотя бы одно допустимое управление , для которого выполнены равенства (1.1), (1.2). Тогда ([1,2]) для точек существует единственное оптимальное управление задачи (1.1)-(1.3), удовлетворяющее условию максимума Понтрягина:

п.в. на для некоторого вектора , где . При этом, как следует из соотношения (1.4), функция кусочно-постоянна, принимает значения -1 и +1 и имеет не более (n-1) моментов переключения. Здесь через обозначено время оптимального быстродействия, а через - экспоненциал матрицы B .

Поскольку условие максимума (1.4) является лишь необходимым условием оптимальности по быстродействию, равенству (1.4) могут удовлетворять не только оптимальное управление , но и так называемые экстремальные управления , соответствующие векторам . При этом каждое экстремальное управление также является кусочно-постоянной функцией:

п.в. на ,

имеющей на интервале не более (n-1) переключений. Тогда для нахождения оптимального управления , переводящего фазовую точку системы (1.1) из положения в положение , необходимо найти все экстремальные управления , переводящие систему (1.1) из в , а затем выбрать из их числа то единственное, которое осуществляет этот переход за наименьшее время. Поскольку решение задачи оптимального быстродействия (1.1)-(1.3) сводится таким образом к анализу соответствующих экстремальных управлений, изучим последние более подробно.

Обозначим через и границу и внутренность компакта .

Следуя схеме рассуждений теоремы 11 ([1]) можно показать, что справедлива

Лемма 1. Пусть - экстремальные управления задачи (1.1)-(1.3), заданные на отрезке . Тогда эти управления совпадают, т.е.

п.в. на .

Теперь для произвольного T > 0 рассмотрим множество

Учитывая результаты леммы 1, несложно обосновать справедливость утверждения.

Лемма 2. Допустимое управление является экстремальным в задаче (1.1)-(1.3) тогда и только тогда, когда выполнено включение

Далее, введем множество

и отображение

В работе [3] установлено соотношение

при этом

и сужение отображения на множество взаимно однозначно.

Это означает, что множество (1.7) и отбражение (1.8) задают конечномерную параметризацию множества (1.5).

Из включения (1.6) и равенств (1.9), (1.10) следует существование точки , для которой имеет место формула

Дальнейшие исследования экстремальных управлений заключаются в нахождении условий существования в малой окрестности вектор-функции , удовлетворяющей уравнению (1.11) и равенству . Поскольку в общем случае включение

или эквивалентное ему в силу (1.9), (1.10) включение

может не выполняться при малых , имеет смысл рассматривать множества:

Справедлива

Лемма 3. Для всех T > 0 выполнены включения

В работе [4] доказана выпуклость множества Y(T) и взаимная однозначность сужения отображения на внутренность .

Из приведенных выше рассуждений следует,что изучение экстремальных управлений задачи (1.1)-(1.3) состоит в определении удовлетворяющей системе (1.11) функции , совпадающей при с и принимающей свои значения в множестве (1.12) при или .

З а м е ч а н и е. В случае результаты подобных исследований представлены в [5].

З а м е ч а н и е. Наличие функции , обладающей перечисленными выше свойствами, позволяет строить приближенные методы решения задачи оптимального быстродействия (1.1)-(1.3). Для других задач такие алгоритмы подробно описаны в работе [6].

Пусть задано экстремальное управление исходной задачи (1.1)-(1.3), которое имеет на интервале переключений .

Сформулируем

О п р е д е л е н и е. Пару точек называем локально регулярной, если для соответствующего ей экстремального управления имеет место одна из ситуаций:





В противном случае называем пару локально нерегулярной.

З а м е ч а н и е. При разных значениях времени паре точек соответствуют разные экстремальные управления . В зависимости от этого пара является локально регулярной или локально нерегулярной.

В предположении локальной регулярности точек определим вектор следующим образом:

Справедлива

Теорема. Для локально регулярной пары точек и соответствующего им экстремального управления существует определенная на интервале , функция , обладающая свойствами:

1) для каждого компонента является аналитической функцией на интервале ,

2) выполняется равенство

3) для всех имеет место соотношение

4) для всех справедливо включение

Д о к а з а т е л ь с т в о. Определенная равенствами (1.14) точка соответствует экстремальному управлению , и потому удовлетворяет нелинейной системе уравнений (1.11). Рассмотрим (1.11) как систему относительно неизвестных . Соответствующая матрица Якоби в точке невырождена, поскольку ее столбцами являются вектора , линейно независимые в силу вытекающего из (1.14) включения . Поэтому, согласно теореме о неявной функции [7], локально существует аналитическое решение уравнения (1.11), соответственно (1.16), удовлетворяющее равенству (1.15) и включению (1.17). После чего, дифференцируя тождественно по T соотношение (1.16) на интервале существования и учитывая (1.17), получаем следующую задачу Коши:



где через обозначена матрица Якоби отображения . Применяя к (1.18) теорему о непродолжаемом решении [8], имеем требуемую функцию , . Утверждение доказано.

Следствие. Для всех выполняется включение

Доказательство соотношения (1.19) вытекает из равенства (1.13) и включения (1.17).

Пусть пара точек является локально нерегулярной для некоторого экстремального управления . Это означает, что количество l моментов переключения удовлетворяет неравенству:



Ограничимся рассмотрением канонической модели системы (1.1) ([9]).

П р и м е р 1. Пусть n = 2 . Матрица A и вектора системы (1.1), (1.2) имеют вид:

Из системы (1.16) для нахождения функции после надлежащих преобразований получаем формулы:



Локальную нерегулярность паре обеспечивает экстремальное управление . Из равенства (1.11) имеем выражение и следующие ограничения на координаты векторов :

Учитывая эти соотношения, находим из (1.20) при малых формулы компонент вектор-функции :

Из анализа полученных выражений заключаем, что, во-первых,

и, во-вторых, лишь при .

П р и м е р 2. Пусть n = 3 . Матрица A и вектора системы (1.1), (1.2) имеют вид:

Из системы (1.16) для нахождения функции после надлежащих преобразований получаем формулы:







Локальную нерегулярность паре точек обеспечивают несколько типов экстремальных управлений . Рассмотрим каждый из них в отдельности.

Случай 1. Экстремальное управление задано выражением . Из равенства (1.11) имеем выражение и следующие ограничения на координаты векторов :

При этом, если , то, выполняя несложные вычисления в выражениях (1.21), находим формулы компонент вектор-функции , аналогичные полученным ранее в [5] для . Если же , то преобразования в (1.21) приводят к следующим соотношениям:





Анализ этих выражений позволяет сказать, что, во-первых,



и, во-вторых,

Случай 2. Экстремальное управление задано выражением . Из равенства (1.11) имеем выражение и следующие ограничения на координаты векторов :



При этом, если , то, выполняя несложные вычисления в выражениях (1.21), находим для компонент вектор-функции формулы

из которых вытекают, во-первых, равенства

и, во-вторых, включение

а также формулы:

отличие которых от ранее установленных лишь в том, что полученное включение имеет место при . Если же , то преобразования в (1.21) приводят к следующим соотношениям:





Анализ этих выражений позволяет сказать, что, во-первых,



и, во-вторых,

Случай 3. Экстремальное управление задано выражением , если и , если , где . Рассмотрим вспомогательные функции:

Пусть координаты векторов таковы, что . Значит, . Поэтому, . Выполняя несложные вычисления в выражениях (1.21), находим для компонент вектор-функции формулы:

из которых вытекают, во-первых, равенства

и, во-вторых, включение

а также формулы:

отличие которых от ранее установленных лишь в том, что полученное включение имеет место при .

Пусть теперь . Возможны две различные ситуации.

1. Координаты векторов удовлетворяют условиям:

Тогда из равенства (1.11) имеем выражения

Преобразования в (1.21) приводят к следующим соотношениям:





Анализ этих соотношений позволяет сказать, что в случае

выполняются равенства

В случае же

имеют место выражения:

При этом в обоих случаях и включение справедливо при .

2. Координаты векторов удовлетворяют условиям:

Тогда из равенства (1.11) имеем выражения

Преобразования в (1.21) приводят к следующим соотношениям:





Анализ этих соотношений позволяет сказать, что в случае

выполняются равенства

В случае же

имеют место выражения:

При этом в обоих случаях и включение справедливо при .

Отметим, что во всех рассмотренных ситуациях первые координаты векторов удовлетворяют формуле

З а м е ч а н и е. Все указанные здесь случаи локально нерегулярных пар точек являются невырожденными в том смысле, что соответствующая функция переключений определена в двусторонней окрестности точки .

З а м е ч а н и е. В рассмотренных невырожденных случаях локально нерегулярных пар найденная функция является аналитической в области своего определения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, код 93-011-16129.

Поступила 16.03.95

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.- М.: Наука, 1983.- 392 c.
2. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления.- М.: Наука, 1969.- 408 c.
3. Хайлов Е.Н. Об аналитической параметризации множества управляемости в линейной задаче управления // Мат. заметки.- 1988.- T.44, вып.3.- С.405-406.
4. Хайлов Е.Н. Конечномерные методы в задачах оптимального управления. Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02/ MГУ. М., 1989.
5. Хайлов Е.Н. О поведении моментов переключения в линейной задаче быстродействия // Вест. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. математика и кибернетика.- 1988.- N 4.- С.65-67.
6. Хайлов Е.Н. О нахождении моментов переключения экстремального управления в нелинейной задаче быстродействия // Дифференц. уравнения.- 1992.- T.28, N 11.- С. 1988-1993.
7. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений.- М.: Наука, 1969.- 527 c.
8. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1974.- 322 c.
9. Скляр Г.М. Точное описание областей управляемости и достижимости для канонической системы // Развитие и применение метода функций Ляпунова. Новосибирск: Наука, 1992.- С. 215-219.