ВАРИАНТЫ КОМБИНАТОРНОЙ ЛЕММЫ ТАККЕРА

Ю. А. Шашкин

Аннотация:

Даются три формы этой леммы и их интерпретация в терминах симплициальных отображений. Следующая третья форма леммы является новой. Пусть задана антиподальная триангуляция квадрата, и каждая ее вершина отмечена целым числом, отличным от нуля так, что антиподальные вершины на границе получают отметки с нулевой суммой, а концы каждого ребра имеют отметки с суммой, отличной от нуля. Тогда для любой допустимой тройки (a,b,c) число граней с отметками (a,b,c) и (-a,-b,-c) имеют разную четность. Эту форму можно назвать леммой Таккера с ``очень многими'' различными отметками. Ее эквивалентная формулировка такова: степень нечетного симплициального отображения сферы $S^2$ в себя нечетна, т.е. она является дискретным вариантом известной теоремы Борсука.

В этой статье дается систематизация вопросов, относящихся к лемме Таккера [9]; приводятся три ее формы и их интерпретация в терминах симплициальных отображений. Из этих трех форм последняя является новой. Мы ограничиваемся двумерным случаем, в частности, потому, что для высших размерностей некоторые вопросы остаются открытыми. О различных доказательствах леммы Таккера и ее применении см. работы [1, 3-6, 10].

Лемма Таккера 1 (первая форма)

[9] . Пусть имеется антиподальная триангуляция квадрата Q , т.е. такая, что ее вершины, лежащие на границе $\partial Q$, входят парами-антиподами. Пусть каждая вершина триангуляции отмечена одним из чисел $1,\ -1,\ 2, -2$так, что сумма отметок у каждой пары вершин-антиподов на границе равна нулю. Тогда имеется хотя бы одно ребро триангуляции, у которого сумма отметок на его концах тоже равна нулю.

Лемма Таккера 2 (вторая форма)

[4] . Пусть имеется такая же триангуляция квадрата, и каждая ее вершина отмечена одним из чисел $1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 3,\ -3$ так, что сумма отметок на концах каждого ребра триангуляции отлична от нуля, а у каждой пары вершин-антиподов - равна нулю. Тогда числа граней триангуляции с отметками $(a,\ b,\ c)$ и с отметками $(-a,\ -b,\ -c)$ имеют разную четность.

Как известно [7-8], такие системы отметок определяют симплициальные отображения f квадрата Q в некоторые двумерные симплициальные комплексы M . Для первой формы леммы таким комплексом M естественно считать тетраэдр T , вершины которого несут отметки $1,\ -1,\ 2, -2$ (под ``тетраэдром'' и ниже ``октаэдром'' мы понимаем не трехмерное тело, а его границу). Оба комплекса Q и T предполагаются имеющими стандартные когерентные ориентации. Рассмотрим сначала ``хороший'' случай, когда на границе квадрата $\partial Q$ отсутствуют ребра $(1,\ -1)$ и $(2,\ -2)$. Тогда легко видеть, что на ней имеются ребра всех остальных возможных типов: $(1,\ 2),\ (2,\ -1),\ (-1,\ -2)$ и $(-2,\ 1)$. Поэтому граница $\partial Q$отображается на простой замкнутый контур, состоящий из четырех ребер указанных типов, но уже лежащий на тетраэдре. Обозначим этот контур так: $C=(1,\ 2,\ -1,\ -2,\ 1)$, и пусть он имеет ориентацию, определенную именно таким порядком вершин. Ясно, что отображение $( f \mid \partial Q ):\ \partial Q \rightarrow C$ имеет степень (о понятии степени см., напр., [7 - 8]). Докажем, что эта степень (как целочисленная, так и по модулю 2) нечетна. Для этого выберем некоторую половину границы $\partial Q$ и обозначим через $\beta (a,\ b)$ число ребер типа $(a,\ b)$ на этой половине (мы не различаем ребра $(a,\ b)$ и $(b,\ a)$). При полном обходе половины границы знак отметок меняется на противоположный, поэтому общее число перемен знака нечетно. Но так как знаки меняются на ребрах $(1,\ -2)$ и $(-1,\ 2)$ и только на них, то $$\beta (1,\ -2) + \beta (-1,\ 2) \equiv 1 \, (\mbox{mod} 2).$$С другой стороны, каждому ребру $(-1,\ 2)$ на одной половине границы соответствует ребро $(1,\ -2)$ на ее дополнительной половине. Поэтому сумма $\beta (1,\ -2)+\beta (-1,\ 2)$ равна общему числу $\gamma (1,\ -2)$ ребер $(1,\ -2)$ на всей границе. Значит, это число, а потому и степень симплициального отображения $( f \mid \partial Q ):\ \partial Q \rightarrow C$ (как целочисленная, так и по модулю 2) нечетна. Согласно теореме 1 работы [8] (случай p=2 ) локальные степени отображения f на гранях $(1,\ -2,\ 2)$и $(-1,\ 2,\ -2)$ тетраэдра равны между собой, ибо на их общее ребро $(2,\ -2)$ граница $\partial Q$ не отображается. Пусть $d_1$обозначает общее значение этих локальных степеней. На гранях $(1,\ 2,\ -1)$ и $(-1,\ -2,\ 1)$ локальные степени тоже одинаковы; пусть их общее значение равно $d_2$. Опять по теореме 1 из [8] разность $d_2-d_1$ равна степени отображения границы $\partial Q$ на контур C , т.е. нечетному числу. Значит, одно из чисел $d_1$ и $d_2$ нечетно. Это рассуждение дает геометрическую интерпретацию первой формы леммы, а также и ее новое доказательство.

Если на границе $\partial Q$ имеются ребра $(1,\ -1)$ и(или) $(2,\ -2)$, то легко проверяются следующие факты:

Пусть на некоторой (и поэтому - на любой) половине границы $\partial Q$ имеется общее четное число ребер $(1,\ -1)$ и $(2,\ -2)$ (в частности, равное нулю, что дает рассмотренный выше случай). Тогда $\partial Q$ отображается на контур $C=(1,\ 2,\ -1,\ -2,\ 1)$ с нечетной степенью и, возможно, еще на ребра $(1,\ -1)$ и $(2,\ -2)$ тетраэдра со степенью, равной нулю. При этом на границе квадрата можно так выбрать вершины триангуляции и так отметить их числами $1,\ -1,\ 2$ и -2 (с соблюдением четности числа указанных ребер), чтобы степень отображения $\partial Q$ на контур C была равна любому заранее заданному нечетному числу.

Пусть на половине границы $\partial Q$ имеется общее нечетное число ребер $(1,\ -1)$ и $(2,\ -2)$. Тогда эта граница отображается:

а) либо на контур C с четной степенью (которая за счет выбора вершин триангуляции и их отметок может принимать любые четные значения) и на ребра тетраэдра $(1,\ -1)$ и(или) $(2,\ -2)$ - с нулевой степенью,

б) либо (с нулевой степенью) на m ребер тетраэдра $(1\leq m \leq 6,\ m\neq 2$), среди которых обязательно имеются $(1,\ -1)$ и(или) $(2,\ -2)$.

Вторая форма леммы Таккера естественно интерпретируется в виде симплициального отображения квадрата в октаэдр, вершины которого несут отметки $1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 3,\ -3$ и тогда заключение леммы состоит в том, что для любой грани октаэдра и ее грани-антипода локальные степени отображения имеют разную четность. Этому утверждению можно придать еще одну эквивалентную форму. Для ее получения возьмем два экземпляра квадрата, склеенные своими краями (или, что то же, две половины октаэдра), и все элементы триангуляции одного из них перенесем на второй, переходя к их антиподам. Тогда симплициальное отображение квадрата в октаэдр естественно продолжается до нечетного отображения одного октаэдра в другой, т.е. такого отображения, при котором каждая пара точек-антиподов переходит в такую же пару.

Вторая форма леммы получает такую формулировку: нечетное симплициальное отображение октаэдра, наделенного произвольной антиподальной триангуляцией, в октаэдр (без дополнительной триангуляции его восьми граней) имеет нечетную степень.

Теперь остается сделать еще один шаг, чтобы получить третью форму леммы Таккера, а именно, наделить произвольной триангуляцией также октаэдр-образ. Получаем следующее утверждение:

Лемма Таккера 3 (третья форма)

Пусть $S_1$ и $S_2$ - два экземпляра октаэдра (или 2 -сферы), каждый из которых имеет произвольную антиподальную триангуляцию, и $f:\ S_1 \rightarrow S_2$нечетное симплициальное отображение. Тогда его степень нечетна.

Теперь $S_2$ имеет как угодно много вершин триангуляции. Так как при описании отображения числовыми отметками каждая вершина $S_2$получает свою отметку, то это утверждение можно назвать ``леммой Таккера со многими отметками''. В такой форме она является дискретным аналогом известной теоремы Борсука [2] о нечетности степени нечетного непрерывного отображения $f:\ S^n \rightarrow S^n$.Теорема Борсука может быть получена из третьей формы леммы применением теоремы о симплициальных приближениях.

Д о к а з а т е л ь с т в о третьей формы. В нем можно не учитывать ориентаций $S_1$ и $S_2$, т.е. достаточно рассмотреть случай степени по модулю 2. Симплициальное отображение $f:\ S_1 \rightarrow S_2$ описываем обычным образом с помощью числовых отметок. Именно, на $S_2$каждая вершина триангуляции отмечена целым числом, не равным нулю и отличным от отметок других вершин; при этом отметки у вершин-антиподов имеют нулевую сумму. На октаэдре $S_1$ каждая вершина триангуляции имеет ту же отметку, что и ее образ в $S_2$.

На первом этапе доказательства рассмотрим октаэдр $S_2$ и только з н а к и отметок у его вершин, не принимая во внимание их абсолютные величины. Опишем некоторые пути на $S_2$, проходящие через грани и ребра его триангуляции. Пусть $\sigma ^2$ - грань, имеющая ребро с отметками разных знаков на его концах. Такое ребро назовем ``пестрым''. Ясно, что если грань имеет пестрое ребро, то она имеет в точности два таких ребра. Наш путь начинается в такой грани $\sigma ^2$,проходит через ее пестрое ребро и попадает в соседнюю грань. Так как всех граней конечное число и каждая из них имеет четное число пестрых ребер (равное 0 или 2), то путь получается замкнутым: он кончается в той же грани $\sigma ^2$, в которой начинался. Проведем такие пути через в с е грани, имеющие пестрые ребра. Очевидно, через одну грань или через одно ребро не могут проходить два или больше разных путей.

Пусть A - произвольная вершина триангуляции $S_2$ и B - ее антиподальная вершина. Соединим точки A и B простой ломаной, идущей по ребрам и не содержащей никакой другой пары точек-антиподов, кроме A и B . Добавляя к этой ломаной ее антипод, получим на $S_2$ простую замкнутую ломаную, которую назовем экватором.

Рассмотрим пестрые ребра на экваторе. Там они появляются антиподальными парами. Так как отметки в точках A и B имеют разные знаки, то всего на экваторе имеется нечетное число таких пар.

Описанные выше пути пересекают экватор в пестрых ребрах, причем каждый путь - четное число раз. Если какой-то путь не проходит ни через одну а н т и п о д а л ь н у ю пару ребер экватора, то он не совпадает со своим антиподальным путем и поэтому вообще не пересекается с ним. Тогда на долю этих двух путей приходится четное число пар пестрых ребер на экваторе. Но так как там имеется нечетное число таких пар, то получаем следующее заключение. Существует и притом единственный путь, проходящий по крайней мере через одну а н т и п о д а л ь н у ю пару ребер, или, что то же, совпадающий со своим антиподальным путем. Такой путь будем называть хорошим. Заметим, что других путей может не быть вообще.

Переходя к октаэдру $S_1$, выберем на нем какой-нибудь экватор E , обозначим через $S^{\ast }_1$ одну из половин октаэдра, на которые он делится экватором E , и через $f \mid S_1^{\ast }\ -$ сужение отображения f на эту половину. Наша конечная цель - проверить, что на любой, произвольно выбранной паре граней-антиподов триангуляции октаэдра $S_2$локальные степени отображения $f \mid S_1^{\ast }$ имеют разную четность. Отсюда будет следовать, что степень (целочисленная или по модулю 2) отображения $f:\ S_1 \rightarrow S_2$ нечетна. В качестве такой пары мы выберем любую грань на $S_2$, через которую проходит хороший путь, и ее антипод.

Пусть

$$\{ \sigma^2_1, \ \sigma^1_1,\ \sigma^2_2,\ \sigma^1_2,\ldots, \sigma^1_{m-1},\ \sigma^2_m \}\ -$$

цепочка на $S_2$, состоящая попеременно из 2- и 1-симплексов (граней и ребер), через которые проходит какая-нибудь половина хорошего пути. Таким образом, грани $\sigma^2_1$ и $\sigma^2_m$являются антиподами. Далее выберем произвольную половину экватора E октаэдра $S_1$. Обозначим через $\beta (\sigma^1_i)$ общее число ребер, лежащих на этой половине и таких, что каждое из них является прообразом ребра $\sigma^1_i\ (i=1,2,\ldots, m-1)$; пусть $\gamma (\sigma^1_i)$обозначает аналогичное число для всего экватора E . Так как отображение f нечетно, то $$\gamma(\sigma^1_i) = \beta (\sigma^1_i)+\beta (-\sigma^1_i)\ \ \ (i=1,2,\ldots , m-1),$$где $-\sigma^1_i$ обозначает антипод ребра $\sigma^1_i$. Чтобы не усложнять обозначений, предположим, что кроме хорошего пути на $S_2$ имеется еще только одна пара взаимно антиподальных путей: C и -C . Пусть $$\{ \tau^2_1, \ \tau^1_1,\ \tau^2_2,\ \tau^1_2,\ldots, \tau^1_{p-1},\ \tau^2_p \}\ -$$цепочка попеременно 2- и 1-симплексов, через которые проходит путь C , причем $\tau ^2_1 = \tau^2_p$. Пусть $\beta (\tau ^1_j)$ есть общее число ребер, лежащих на уже выбранной половине экватора E и таких, что каждое из них является прообразом $\tau_j^1\ (j=1,2,\ldots, p-1)$; обозначение $\gamma (\tau_j^1)$ имеет аналогичный смысл для всего экватора E . Как и раньше, имеем $$\gamma(\tau^1_j) = \beta (\tau^1_j)+\beta (-\tau^1_j)\ \ \ (j=1,2,\ldots , p-1),$$где $-\tau_j^1$ есть антипод ребра $\tau_j^1$. (Ясно, что путь -C проходит через все ребра $-\tau _j$).

Проходя выбранную половину экватора E , замечаем, что при этом, в силу нечетности отображения f и в силу того, что пути проходят через в с е пестрые ребра, знаки отметок (на $S_1$)меняются на противоположные при прохождении прообразов ребер $\sigma_i^1,\ -\sigma_i^1,\ \tau_j^1,\ -\tau_j^1$ и только этих ребер. С другой стороны, знаки отметок на концах половины экватора противоположны. Поэтому $$\sum_{i=1}^{m-1} \gamma (\sigma _i^1) + \sum_{j=1}^{p-1} \gamma (\tau _j^1) \equiv 1 \, (\mbox{mod} 2).$$

Пусть $\alpha (\sigma ^2)\ -$ число граней триангуляции $S_1^{\ast }$, отображающихся на грань $\sigma ^2$ триангуляции $S_2$, иначе говоря, локальная степень отображения $f \mid S_1^{\ast }$ на $\sigma ^2$. Применяя к отображению $(f \mid S_1^{\ast }):\ S_1^{\ast } \rightarrow S^2$ и к цепочке (1) неориентированный вариант теоремы 1 работы [8], получаем $$\alpha (\sigma_m^2) - \alpha (\sigma_1^2) \equiv \sum_{i=1}^{m-1} \gamma (\sigma^1_i) \, (\mbox{mod} \, 2).$$





Из этой же теоремы ввиду равенства $\tau _1^2 = \tau_p^2$ следует $$\sum_{j=1}^{p-1} \gamma (\tau^1_j) \equiv 0 \, (\mbox{mod} \, 2).$$





Из (2), (3) и (4) получаем $$\alpha(\sigma^2_m)-\alpha(\sigma_1^2) \equiv 1 \, (\mbox{mod}\, 2),$$что и требовалось.

П р и м е р. В простейшем случае, когда ни одна из восьми естественных граней $S_2$ на имеет дальнейшей триангуляции, существует единственный путь, проходящий через все грани, кроме (1,2,3) и (-1,-2,-3) .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 93-011-01401.

Поступила 19.09.95

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.

Baker J.K. A combinatorial proof of Tucker's lemma for the n -cube // J.Combin.Theory.- 1970.- V.8, N.3.- P. 279-290.

2.

Borsuk K. Drei Sätze über die n -dimensionale euklidische Sphäre // Fund.Math.- 1933.- B.20.- S. 177-190.

3.

Cohen D.I.A. On the combinatorial antipodal-point lemmas // J.Combin.Theory Ser.B.- 1979.- V.27, N.1.- P. 87-91.

4.

Fan K. A generalization on Tucker's combinatorial lemma with topological applications // Ann.Mah.- 1952.- (2) V.56, N.3.- P. 431-437.

5.

Freund R.M., Todd M.J. A constructive proof of Tucker's combinatorial lemma // J.Combin.Theory Ser.A.- 1981.- V.30, N.3.- P.321-325.

6.

Kuhn H.W. Some combinatorial lemmas in topology // IBM J.Res.Develop.- 1960.- V.4, N.5.- P. 518-524.

7.

Шашкин Ю.А. Комбинаторные леммы и симплициальные отображения // Труды ИММ УрО.- 1995.- Т.3.- С. 74-79.

8.

Shashkin Yu.A. Local degrees of simplicial mappings // Publ.Math.Debrecen.- 1994.- V.45, N.3-4.- P. 407-413.

9.

Tucker A.W. Some topological properties of disc and sphere // Proc.First Canadian Math.Congress (Montréal, 1945).- Univ. of Toronto Press, Toronto.- 1946.- P. 285-309.

10.

Weiss B. A combinatorial proof of the Borsuk-Ulam antipodal theorem // Israel J.Math.- 1989.- V.66, N.1-3.- P. 364-368.