ЛОКАЛЬНАЯ КОМПАКТНОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ
В МНОЖЕСТВЕННО-ОТКРЫТОЙ ТОПОЛОГИИ

С.Э. Нохрин

Аннотация:

Известный результат о том, что пространство вещественных функций, определенных на тихоновском пространстве X , локально компактно в топологии поточечной сходимости тогда и только тогда, когда пространство X конечно, обобщается на случай произвольной множественно-открытой топологии.

Пусть X - тихоновское пространство, $\lambda$ - некоторое непустое семейство его подмножеств ($\emptyset\not\in\lambda$). На пространстве всех непрерывных вещественных функций C(X) рассмотрим $\lambda$-открытую топологию, т.е. топологию, предбазу которой составляют все множества $\langle F,U\rangle=\{f\in C(X): f(F)\subseteq U\},$ где $F\in\lambda,$ U - открытое в R множество.

В настоящей статье изучается вопрос: когда $\lambda$-открытая топология локально компактна? Хорошо известно (cм. [1]), что пространство $С_{p}(X)$ (которое является частным случаем $C^{\lambda}(X)$ при $\lambda$ - семейство всех конечнх множеств) локально компактно тогда и только тогда, когда X конечно. Мы докажем, что это верно и в общем случае.

Несколько слов об обозначениях. Пространство функций, наделенное $\lambda$-топологией обозначается $C^{\lambda}(X)$ . Если $A\subseteq X$ и $B\subseteq R,$ то через $\langle A,B\rangle$ обозначается множество всех $f\in C(X),$ удовлетворяющих условию $f(A)\subseteq B$. Через $f_{0}$ обозначим функцию тождественно равную нулю. Остальные обозначения стандартны, их можно найти в  [3] или в  [4]. Семейство $\lambda$ всегда полагается замкнутым относительно конечных объединений (как указано в  [4], это не ограничивает общности рассуждений).

1. Лемма. Семейство множеств $\langle F ,U\rangle,$ где $F\in\lambda,$ а U - окрестность нуля в R, является базой в точке $f_{0}$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем $Of_{0}$ - любую окрестность функции $f_{0}$ в $C^{\lambda}(X)$ . Пусть $Of_{0} =\bigcap\limits ^{n}_{i=1}\langle F_{i},U_{i}\rangle$. Положим $F=\bigcup\limits ^{n}_{i=1} F_{i},\ U=\bigcap\limits ^{n}_{i=1} U_{i}$. Очевидно, $U\ni 0,\$ $f_{0}\in \langle F ,U\rangle\subseteq \bigcap\limits ^{n}_{i=1}\langle F _{i},U_{i}\rangle$.

2. Лемма. Пусть $\lambda-$ $\pi$-сеть. Тогда если $f_{0}$- точка локальной компактности $C^{\lambda}(X)$ , то найдется $\epsilon \gt 0,$ такое что $\langle X,[-\epsilon; \epsilon]\rangle-$ компакт.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $Of_{0}$ - окрестность точки $f_{0},$ замыкание которой компакт. По лемме 1 можно полагать, что $Of_{0}=\langle F,U\rangle,$ где U - окрестность нуля, а $F\in\lambda$. Пусть $\epsilon \gt 0$ таково, что $[-\epsilon; \epsilon]\subseteq U$. Ясно, что $\langle X,[-\epsilon; \epsilon]\rangle\subseteq Of_{0}\subseteq [Of_{0}],$ поэтому достаточно показать, что $\langle X,[-\epsilon; \epsilon]\rangle$ замкнуто. Возьмем любую непрерывную функцию $f\not\in\langle X,[-\epsilon; \epsilon]\rangle,$ и пусть $x\in X$ таково, что $\vert f(x)\vert \gt\epsilon$. Так как $\lambda$ - $\pi-$сеть, найдется $F\in\lambda,$ такое, что $F\subseteq f^{-1}(R\setminus[-\epsilon; \epsilon])$. Тогда $\langle F,(-\infty;-\epsilon)\cup (\epsilon;+\infty) \rangle-$ окрестность f , не пересекающаяся с $\langle X,[-\epsilon; \epsilon]\rangle$. Лемма доказана.

3. Теорема. Пусть $\lambda$- $\pi$-сеть. Тогда следующие условия эквивалентны:

а) $C^{\lambda}(X)$ локально компактно

б) точка $f_{0}$ - точка локальной компактности $C^{\lambda}(X)$

в) X конечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

а) $\Rightarrow$ б) Очевидно.

б) $\Rightarrow$ в) От противного. Пусть X бесконечно. Тогда возможны два случая:

1) Все элементы $\lambda$ состоят из конечного числа точек. Рассмотрим окрестность $f_{0},$ замыкание которой - компакт. Можно полагать, что эта окрестность имеет вид $\langle F ,U\rangle,$ где $F\in\lambda,$ U открыто в R . Так как $\lambda$ - $\pi$-сеть, а X бесконечно, найдется $\Phi\in\lambda,$ такое что $\Phi\subseteq X\setminus F$. Положим $\Omega=\{ \langle\Phi ,(-n;n)\rangle\vert n\in N \}$. Ясно, что семейство $\Omega$ состоит из открытых в $C^{\lambda}(X)$ множеств и покрывает все $C^{\lambda}(X)$ . Пусть $\Omega_{1}=\{ \langle\Phi,(-k_{i};k_{i})\rangle\vert i=1, 2, \dots, n \}$ - конечное подпокрытие $[\langle F,U\rangle]$. В силу конечности F и $\Phi$ найдется функция $f\in$$C^{\lambda}(X)$ , обладающая свойствами $f\vert_{F}\equiv 0,$ и $f\vert_{\Phi}\equiv \max\{ k_{i}\vert i=1, 2, \dots, n \}$. Очевидно, эта функция лежит в $[\langle F,U\rangle]$ и не покрывается элементами $\Omega_{1}$. Противоречие.

2) Найдется элемент $F_{0}\in\lambda,$ состоящий из бесконечного числа точек. В силу леммы 2 найдется $\epsilon,$ такое что $\langle X,[-\epsilon; \epsilon]\rangle$ - компакт. Положим $\Omega=\{ \langle F,(-\epsilon; \epsilon)\rangle, \vert F\in \lambda\}\cup \{ \langle F_{0},R\setminus [-\frac{\epsilon}{2};\frac{\epsilon}{2}]\rangle\}$. Семейство $\Omega$ состоит из открытых в $C^{\lambda}(X)$ множеств и покрывает $\langle X,[-\epsilon; \epsilon]\rangle$. В самом деле, для любой функции $f\in \langle X,[-\epsilon; \epsilon]\rangle$ если $\vert f\vert\not\equiv\epsilon,$ то найдется $U\subseteq X$ такoe, что $f(U)\subseteq(-\epsilon; \epsilon)$. Возьмем $\Phi\in\lambda,$ лежащее в U . Ясно, что $f\in \langle\Phi,(-\epsilon; \epsilon)\rangle$. Если же $\vert f\vert\equiv \epsilon,$ то $f\in \langle F_{0},R\setminus [-\frac{\epsilon}{2};\frac{\epsilon}{2}]\rangle, \vert F\in \lambda\}$. Пусть $\Omega_{1}=\{ \langle F_{i},(-\epsilon; \epsilon)\rangle, \vert i=1, 2, \dots,... ... \{ \langle F_{0},R\setminus [-\frac{\epsilon}{2}; \frac{\epsilon}{2}]\rangle,$ - конечное подпокрытие $\Omega$. Зафиксируем произвольно $x_{i}\in F_{i}\vert i=1, 2, \dots, n$ и $x_{0}\in F_{0}$ так, чтобы $x_{0}\not\in \bigcup\limits_{i=1}^{n} x_{i}$. Существует функция $g\in C(X),$ такая что $g(x_{0})= 0,\$ $g(x_{i})=\epsilon$ для всех $i\ge 1,$ и для всех $x\in X$ $g(x)\le\epsilon$. Тогда $g\in \langle X,[-\epsilon; \epsilon]\rangle,$ но g не покрывается элементами семейства $\Omega_{1}$. Противоречие.

в) $\Rightarrow$ а) Очевидно, так как если X конечно, и $\lambda$-$\pi$-сеть, то $C^{\lambda}(X)$ совпадает с $C_{p}(X)$.

Как было ранее доказано автором (см.  [2]), пространство $C^{\lambda}(X)$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда $\lambda$ - $\pi$-сеть. С учетом этого получаем следующее утверждение:

4. Следствие. Следующие условия эквивалентны:

а) $C^{\lambda}(X)$ локально компактное хаусдорфово пространство.

б) X конечно и $\lambda$ содержит все точки X .

Поступила 6.11.95

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.

Архангельский А. В. Топологические пространства функций.- M: Изд-во МГУ, 1989г. - 222с.

2.

Нохрин С. Э. Об некоторых топологиях на пространстве непрерывных функций// Проблемы теоретической и прикладной математики. Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 1993.- C. 5-6.

3.

Энгелькинг Р. Общая топология.- М.: Мир, 1986.- 752с.

4.

McCoy R. A. , Ntantu I. Topological Properties of Spaces of Continuous Functions. Berlin: Springer-Verlag/ Lecture Notes in Mathematics, 1315, 1988.- 124p.