Пример небольшого слайда для демонстрации с экрана компьютера, выполненный с помощью класса slides.
Основные результаты. Остановимся вначале на случае $L^2({\bf S}^1)$.
В этом случае $\lambda =0,\ {\bf S}^1 \ -$ обычная окружность. Функции $f$ из $L^2({\bf S}^1)$ можно отождествить с $2\pi
$-периодическими функциями $F(u)=f(e^{iu})$ из $L^2_{2\pi}.$ Задача (1), (2) сводится к задаче о наименьшей константе $K=K(\tau,n,r,0)={\cal K}^2(\tau,n,r,2)$ в неравенстве

\begin{displaymath}\sum_{k\geq n}\rho_k \leq K\, \sup _{0<t\leq \tau} \sum_{k\geq
1}\rho _k \{ 1-\cos \, kt \} ^r,\end{displaymath}


\begin{displaymath}\sum_{k\geq
1}\rho_k<\infty,\quad \rho_k \geq 0,\quad k=1,2,\ldots .\end{displaymath}


change_begin
Первые точные результаты в этой задаче получил Н.И. Черных , которые в терминах, принятых здесь, можно записать в следующем виде
change_end

\begin{displaymath}K(\tau,n,1,0)=1, \tau\geq \pi/n, n=1,2, \ldots ,
\end{displaymath}


\begin{displaymath}K(\tau,n,1,0)>1,\quad 0<\tau < \pi/n,\quad n=1,2,
\ldots ,
\end{displaymath}


\begin{displaymath}K(\tau,n,r,0)=\frac{2^r}{{{2r}\choose
r}}= \frac{2^r\{\Gamma(r+1)\}^2}{\Gamma(2r+1)},\end{displaymath}


\begin{displaymath}\tau\geq
2\pi/n,\quad n>r,\quad r=2,3, \ldots\, . \end{displaymath}

В работах автора найдена $K \left(
{\frac{\pi}{ln}}, n, 1, 0 \right)$ для натуральных $l \geq 1+3n/2,
\ \ n=1,2, \ldots $, а также для натуральных $l \in [3n/4,\ 3n/2],
n \geq 10$. В работе М.Ж.Шакеновой утверждение, равносильное тому, что равенство (3) остается верным и в случае вещественного $r>0,\ \tau=2\pi/n.$ Перейдем к многомерному случаю

\begin{displaymath}L^2({\bf S}^{m-1}),\ \ m \geq 3,
\lambda =(m-2)/2.\end{displaymath}

Минимальное положительное значение аргумента функции $R_n=R_{n,\lambda }$, при котором она достигает локального минимума, локального максимума, обозначим через $h_{n,\lambda }$ и $t_{n,\lambda }$ соответственно. Единственный корень уравнения $R_n(u)=R_n(t_{n,\lambda }),\ \ u\in (0,h_{n,\lambda })$ обозначим через $v_{n,\lambda }$.
В.Ю. Попов установил, что

\begin{displaymath}K^2
(\tau,n,r,m)=\{ 1-R_n(\tau) \}^{-r}\end{displaymath}

при $m=3,4, \ldots ,\ r=2,4,
\ldots ,\ n=1,2,\ldots, \ 0< \tau \leq v_{n,\lambda }$, хотя его доказательство проходит и в случае вещественного $r>0$. В совместной работе В.В. Арестова и В.Ю. Попова был анонсирован следующий результат для случая $m=3,4$

\begin{displaymath}{\cal K}\left( \frac{2\pi}{n+1} , n, 2r, m \right) =
1,\ r=1,2, \ldots , \ n=1,2, \ldots .
\end{displaymath}

Для $\lambda \geq 0,\ n=1,2, \ldots $ обозначим через $\tau_{n, \lambda }$ первый положительный нуль косинус-полинома Гегенбауэра $C_n^{\lambda } (\cos \tau)$

\begin{displaymath}\tau_{ n, \lambda } = \min \{ \tau >0:\ C^{\lambda }_n (\cos \tau) =0 \}.
\end{displaymath}

В настоящей статье доказана

Теорема 1   Пусть $n=1,2, \ldots$. Тогда выполняются следующие утверждения [ (A)] при $\lambda \geq 0$ для каждой функции $F\in L^2_{\lambda },\ F\not \equiv {\rm const}$ справедливы неравенства

\begin{displaymath}
E_{n-1} (F)_{\lambda } < \omega_r (F, 2\tau_{n, \lambda } )_{\lambda };\quad r\geq 1,
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
E_{n-1}(F)_{\lambda }<2^{(1-r)/2}\omega_r(F,2\tau_{n,\lambda })_{\lambda },\quad
0< r < 1;
\end{displaymath}

[ (B)] при $\lambda >0$ для любого $\tau \in (0, \pi)$ существует последовательность функций $F_k$ $(k=1,2,\ldots)$ из $L^2_{\lambda }$ такая, что

\begin{displaymath}\lim_{k\rightarrow \infty} E_{n-1} (F_k)_{\lambda } /
\omega _r(F_k, \tau)_{\lambda } \geq 1,\ \ \ r>0.\end{displaymath}

[ (C)] при $\lambda >0$ существует последовательность функций $F_k\ (k=1,2,\ldots)$ из $L^2_{\lambda }$ такая, что

\begin{displaymath}\Blue{\lim_{k\rightarrow \infty} E_{n-1}(F_k)_{\lambda }/\omega _r(F_k,\pi)_{\lambda } \ge 1,
\quad 0<r\le 1.}\end{displaymath}

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Утверждение (B) теоремы 2.1 принадлежит В.В. Арестову (см. ниже лемму 4.2).

ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Для $\lambda =0,\ r=1$ утверждения теоремы 2.1 получены Н.И. Черных , а при $\lambda =0,\
r > 1$ утверждение (A) теоремы 2.1 доказано В.В. Шалаевым
В данной работе изучается вопрос о точной константе ${\cal K}={\cal K}(\tau,n,r,m),\ \tau>0,\ n\in{\bf N},\ r>0,\ m=2,3,\ldots$ в неравенстве Джексона-Стечкина

$\displaystyle E_{n-1}(f) \leq {\cal K} \omega _r(f,\tau),\quad
f \in L^2,\hspace{1cm}
\Blue{(1)}$      

т.е. величина
  $\textstyle {\cal K} (\tau,n,r,m) =\sup \{
\frac{E_{n-1}(f)}{\omega_r(f,\tau)}:\ f\in L^2,\hspace{1cm}\Blue{(2)}$    
  $\textstyle f\not
\equiv {\rm const}\} .$    


  $\textstyle K(\tau,n,r,0)=\frac{2^r}{{{2r}\choose
r}}= \frac{2^r\{\Gamma(r+1)\}^2}{\Gamma(2r+1)},\quad
\hspace{1cm}
\Blue{(3)}$    
  $\textstyle \tau\geq 2\pi/n,\quad n>r,\quad r=2,3, \ldots\, .$